HomeafWat is De Morgan se wette?

Wat is De Morgan se wette?

Logika is ‘n tak van wiskunde, en ‘n deel daarvan is versamelingsteorie. De Morgan se wette is twee postulate oor die interaksie tussen versamelings. Hierdie wette teken antesedente in Aristoteles en William van Ockham aan. Augustus De Morgan het tussen 1806 en 1871 geleef en was die eerste wat die wette wat hy gepostuleer het in die formele struktuur van wiskundige logika ingesluit het.

Operators in versamelingsteorie

Voordat ons na De Morgan se postulate gaan, kom ons kyk na ‘n paar definisies van versamelingsteorie.

As daar enige twee stelle elemente is, wat ons A en B sal noem, is die kruising van hierdie twee stelle die stel elemente wat gemeen is aan beide stelle. Die snypunt van twee versamelings word aangedui deur die simbool ∩, en is nog ‘n versameling wat ons C kan noem; C = A∩B, en C is die versameling elemente wat in beide groep A en groep B voorkom. Net so is die vereniging van twee versamelings A en B ‘n nuwe versameling wat alle elemente van A en B bevat, en dit word opgemerk met die simbool U. Die versameling C, vereniging van A en B, C = AUB, is ‘n versameling wat geïntegreer is met al die elemente van A en B. Die derde definisie wat ons moet onthou is die komplement van ‘n versameling: as ons ‘n sekere heelal van elemente en ‘n versameling A van hierdie heelal het, is die komplement van A die stel elemente van daardie heelal wat nie aan die versameling A behoort nie. Die komplementversameling van A word as A C aangedui .

Hierdie drie operateurs tussen stelle kan veralgemeen word na die werking tussen verskeie stelle, dit wil sê na die kruising, vereniging en komplement van verskeie stelle. Kom ons kyk na ‘n eenvoudige voorbeeld. Die volgende figuur toon die Venn-diagram van drie stelle: die voëls, voorgestel deur die papegaai, die volstruis, die eend en die pikkewyn; die lewende wesens wat vlieg, verteenwoordig deur die papegaai, die eend, die skoenlapper en die vlieënde vis, en die lewende wesens wat swem, verteenwoordig deur die eend, die pikkewyn, die vlieënde vis en die walvis. Die eend is die kruisingstel van die drie stelle: die uniestel van voëls en lewende wesens wat vlieg, bestaan ​​uit die volstruis, die papegaai, die skoenlapper, die eend, die pikkewyn en die vlieënde vis. En die aanvulling van die lewende wesens wat vlieg en dié wat swem, is die stel wat die volstruis bevat.

Venn-diagram van drie stelle. Venn-diagram van drie stelle.

De Morgan se Wette

Nou kan ons die postulate van De Morgan se wette sien. Die eerste postulaat sê dat die komplement van die versamelingssnyding van twee versamelings A en B gelyk is aan die versamelingsvereniging van die komplement van A en die komplement van B. Deur die operateurs te gebruik wat in die vorige paragraaf gedefinieer is, kan De Morgan se eerste wet geskryf word soos volg:

(A∩B) C = A C UB C

De Morgan se tweede wet postuleer dat die komplement van die unieversameling van A en B gelyk is aan die kruising van die komplementversameling van A met die komplementversameling van B, en dit word soos volg opgemerk:

(AUB) C = A C ∩ B C

Kom ons kyk na ‘n voorbeeld. Beskou die versameling heelgetalle van 0 tot 5. Dit word aangedui as [0,1,2,3,4,5]. In hierdie heelal definieer ons twee versamelings A en B. A is die versameling van getalle 1, 2 en 3; A = [1,2,3]. YB is die versameling van nommers 2, 3 en 4; B = [2,3,4]. De Morgan se eerste wet sou soos volg geld.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morgan se eerste wet: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Die resultaat van die toepassing van die operateurs aan beide kante van die gelykheid toon dat De Morgan se eerste wet geverifieer is. Kom ons kyk na die toepassing van die voorbeeld op die tweede postulaat.

De Morgan se tweede wet: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Soos met die eerste postulaat geld in die gegewe voorbeeld ook De Morgan se tweede wet.

Bronne

AG Hamilton. Logika vir Wiskundiges. Redaksionele Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logika en versamelingsteorie . Toegang tot November 2021