Homeamየዴ ሞርጋን ህጎች ምንድን ናቸው?

የዴ ሞርጋን ህጎች ምንድን ናቸው?

አመክንዮ የሂሳብ ቅርንጫፍ ነው, እና የሱ ክፍል የንድፈ ሃሳብ ስብስብ ነው. የዴ ሞርጋን ህጎች በስብስቦች መካከል ስላለው መስተጋብር ሁለት ፖስታዎች ናቸው። እነዚህ ህጎች በአርስቶትል እና በኦክሃም ዊልያም የቀድሞ ታሪክን ይመዘግባሉ። አውግስጦስ ደ ሞርጋን በ 1806 እና 1871 መካከል የኖረ ሲሆን በሂሳብ ሎጂክ መደበኛ መዋቅር ውስጥ ያስቀመጧቸውን ህጎች በማካተት የመጀመሪያው ነበር.

በስብስብ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ ኦፕሬተሮች

ወደ የዲ ሞርጋን ፖስታዎች ከመሄዳችን በፊት፣ እስቲ ስለ ስብስብ ንድፈ ሐሳብ አንዳንድ ፍቺዎችን እንመልከት።

A እና B ብለን የምንጠራቸው ሁለት የንጥረ ነገሮች ስብስብ ካሉ፣ የእነዚህ ሁለት ስብስቦች መገናኛ ለሁለቱም ስብስቦች የተለመዱ የንጥረ ነገሮች ስብስብ ነው። የሁለት ስብስቦች መጋጠሚያ በምልክት ∩ ይገለጻል, እና C ብለን የምንጠራው ሌላ ስብስብ ነው. C = A∩B፣ እና ሐ በቡድን ሀ እና ቡድን B ውስጥ የሚታዩ የንጥረ ነገሮች ስብስብ ነው። በተመሳሳይም የሁለት ስብስቦች A እና B ውህደት ሁሉንም የ A እና B አካላትን የያዘ አዲስ ስብስብ ነው እና በ ምልክቱ U. ስብስብ C፣ የ A እና B ህብረት፣ C = AUB፣ ከሁሉም የ A እና B አካላት ጋር የተዋሃደ ስብስብ ነው። ማስታወስ ያለብን ሦስተኛው ትርጉም የአንድ ስብስብ ማሟያ ነው። የተወሰነ የንጥረ ነገሮች አጽናፈ ሰማይ እና የዚህ ጽንፈ ዓለም ስብስብ A ካለን፣ የ ሀ ማሟያ የዚያ ዩኒቨርስ አካላት ስብስብ ነው ከ ስብስብ ሀ .

በስብስቦች መካከል ያሉት እነዚህ ሶስት ኦፕሬተሮች በበርካታ ስብስቦች መካከል ባለው አሠራር ማለትም ወደ መገናኛው ፣የማህበር እና የበርካታ ስብስቦች ማሟያ ሊሆኑ ይችላሉ። አንድ ቀላል ምሳሌ እንመልከት። የሚከተለው ምስል የሶስት ስብስቦችን የቬን ንድፍ ያሳያል-በቀቀን, ሰጎን, ዳክዬ እና ፔንግዊን የሚወክሉት ወፎች; የሚበርሩ ሕያዋን ፍጥረታት፣ በቀቀን፣ ዳክዬ፣ ቢራቢሮ እና በራሪ ዓሦች፣ እና የሚዋኙ ሕያዋን ፍጥረታት፣ ዳክዬ፣ ፔንግዊን፣ በራሪ አሳ እና ዓሣ ነባሪ ይወክላሉ። ዳክዬ የሶስቱ ስብስቦች መገናኛ ስብስብ ነው-የወፎች እና ሕያዋን ፍጥረታት ውህደት የሚበሩት ሰጎን ፣ ፓሮት ፣ ቢራቢሮ ፣ ዳክዬ ፣ ፔንግዊን እና የሚበር አሳዎችን ነው። እና የሚበርሩ እና የሚዋኙት ህያዋን ፍጥረታት ማሟያ ሰጎን የያዘው ስብስብ ነው።

የሶስት ስብስቦች የቬን ዲያግራም. የሶስት ስብስቦች የቬን ዲያግራም.

የዲ ሞርጋን ህጎች

አሁን የዴ ሞርጋን ህጎች ፖስታዎችን ማየት እንችላለን። የመጀመሪያው ፖስታ እንደሚለው የሁለት ስብስቦች A እና B ስብስብ መገናኛ ማሟያ የ A እና B ማሟያ ስብስብ ጋር እኩል ነው. በቀድሞው አንቀጽ ላይ የተገለጹትን ኦፕሬተሮች በመጠቀም የዴ ሞርጋን የመጀመሪያ ህግ ሊጻፍ ይችላል. በሚከተለው መንገድ:

(A∩B) C = A C UB C

የዴ ሞርጋን ሁለተኛ ሕግ የ A እና B የኅብረት ስብስብ ማሟያ ከ A ማሟያ ስብስብ ጋር ከ B ማሟያ ስብስብ ጋር እኩል እንደሆነ ያስቀምጣል እና እንደሚከተለው ተጠቅሷል።

(AUB) C = A C ∩ B C

አንድ ምሳሌ እንመልከት። ከ 0 እስከ 5 ያለውን የኢንቲጀር ስብስብ አስቡ። ይህ እንደ [0፣1፣2፣3፣4፣5] ይገለጻል። በዚህ አጽናፈ ሰማይ ውስጥ ሁለት ስብስቦችን እንገልፃለን A እና B. A የቁጥር 1, 2 እና 3 ስብስብ ነው. ሀ = [1፣2፣3]። YB የቁጥር 2፣ 3 እና 4 ስብስብ ነው። B = [2፣3፣4]። የዴ ሞርጋን የመጀመሪያ ህግ እንደሚከተለው ተፈጻሚ ይሆናል።

A = [1,2,3]; ለ = [2፣3፣4]

የዴ ሞርጋን የመጀመሪያ ህግ፡ (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) ሲ

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

ኤ ሲ ዩቢ ሲ

ሀ = [1,2,3] ሐ = [ 0,4,5 ]

B C = [2,3,4] ሐ = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

በሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ላይ የኦፕሬተሮች አተገባበር ውጤት የዴ ሞርጋን የመጀመሪያ ህግ የተረጋገጠ መሆኑን ያሳያል. የምሳሌውን አተገባበር በሁለተኛው ፖስታ ላይ እንይ.

የዴ ሞርጋን ሁለተኛ ህግ፡ (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) ሲ

AUB = [1,2,3] U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) ሐ = [1,2,3,4] ሐ = [0,5]

ኤ ሲ ∩ ቢ ሲ

ሀ = [1,2,3] ሐ = [ 0,4,5 ]

B C = [2,3,4] ሐ = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

ልክ እንደ መጀመሪያው ፖስታ፣ በተሰጠው ምሳሌ የዴ ሞርጋን ሁለተኛ ህግም ይሠራል።

ምንጮች

AG ሃሚልተን ለሂሳብ ሊቃውንት አመክንዮ። ኤዲቶሪያል ፓራኒንፎ፣ ማድሪድ፣ 1981

ካርሎስ ኢቮራ ካስቲሎ። ሎጂክ እና አዘጋጅ ንድፈ ሐሳብ . ኖቬምበር 2021 ደርሷል