Homearما هي قوانين دي مورغان؟

ما هي قوانين دي مورغان؟

المنطق هو فرع من فروع الرياضيات ، وجزء منه هو نظرية المجموعات. قوانين De Morgan هي افتراضان حول التفاعل بين المجموعات. تسجل هذه القوانين السوابق في أرسطو وويليام أوف أوكهام. عاش Augustus De Morgan بين عامي 1806 و 1871 وكان أول من أدخل القوانين التي افترضها في الهيكل الرسمي للمنطق الرياضي.

العوامل في نظرية المجموعات

قبل الانتقال إلى افتراضات De Morgan ، دعنا نلقي نظرة على بعض تعريفات نظرية المجموعات.

إذا كان هناك أي مجموعتين من العناصر ، والتي سنسميها A و B ، فإن تقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة العناصر المشتركة بين المجموعتين. يُشار إلى تقاطع مجموعتين بالرمز ∩ ، وهي مجموعة أخرى يمكننا تسميتها C ؛ C = A∩B ، و C هي مجموعة العناصر التي تظهر في كل من المجموعة A والمجموعة B. وبالمثل ، فإن اتحاد مجموعتين A و B عبارة عن مجموعة جديدة تحتوي على جميع عناصر A و B ، ويُشار إليها بـ الرمز U. المجموعة C ، اتحاد A و B ، C = AUB ، هي مجموعة متكاملة مع جميع عناصر A و B. التعريف الثالث الذي يجب أن نتذكره هو تكملة مجموعة : إذا كان لدينا عالم معين من العناصر ومجموعة A من هذا الكون ، فإن تكملة A هي مجموعة عناصر ذلك الكون التي لا تنتمي إلى المجموعة A. المجموعة التكميلية A يُشار إليها على أنها A C.

يمكن تعميم هذه العوامل الثلاثة بين المجموعات على العملية بين عدة مجموعات ، أي على التقاطع والجمع والتكامل بين عدة مجموعات. لنلق نظرة على مثال بسيط. يوضح الشكل التالي مخطط فين لثلاث مجموعات: الطيور ، ويمثلها الببغاء ، والنعامة ، والبط والبطريق ؛ الكائنات الحية التي تطير ويمثلها الببغاء والبط والفراشة والسمكة الطائرة والكائنات الحية التي تسبح ويمثلها البطة والبطريق والسمك الطائر والحوت. البطة هي مجموعة تقاطع المجموعات الثلاث: مجموعة الطيور والكائنات الحية التي تطير تتكون من النعامة والببغاء والفراشة والبط والبطريق والأسماك الطائرة. وتكمل الكائنات الحية التي تطير وتسبح المجموعة التي تحتوي على النعامة.

مخطط فين من ثلاث مجموعات. مخطط فين من ثلاث مجموعات.

قوانين دي مورغان

الآن يمكننا أن نرى افتراضات قوانين De Morgan. تقول الفرضية الأولى أن تكملة مجموعة التقاطع لمجموعتين A و B تساوي الاتحاد المحدد لمكمل A ومكمل B. باستخدام العوامل المحددة في الفقرة السابقة ، يمكن كتابة قانون De Morgan الأول على النحو التالي:

(A∩B) C = A C UB C

يفترض قانون De Morgan الثاني أن تكملة مجموعة الاتحاد A و B تساوي تقاطع المجموعة التكميلية A مع المجموعة التكميلية B ، ويلاحظ على النحو التالي:

(AUB) ج = أ ج ∩ ب ج

دعونا نرى مثالا. ضع في اعتبارك مجموعة الأعداد الصحيحة من 0 إلى 5. ويشار إليها على أنها [0،1،2،3،4،5]. في هذا الكون نحدد مجموعتين A و B. A هي مجموعة الأعداد 1 و 2 و 3 ؛ أ = [1،2،3]. YB هي مجموعة الأرقام 2 و 3 و 4 ؛ ب = [2،3،4]. سيطبق قانون De Morgan الأول على النحو التالي.

أ = [1،2،3] ؛ ب = [2،3،4]

قانون De Morgan الأول: (A∩B) C = A C UB C

(أ∩ب) ج

A∩B = [1،2،3] ∩ [2،3،4] = [2،3]

(A∩B) C = [2،3] C = [0،1،4،5]

أ C UB ج

أ C = [1،2،3] ج = [0،4،5]

ب ج = [2،3،4] ج = [0،1،5]

A C UB C = [0،4،5] U [0،1،5] = [0،1،4،5]

تظهر نتيجة تطبيق المشغلين على جانبي المساواة أن قانون De Morgan الأول قد تم التحقق منه. دعونا نرى تطبيق المثال على الفرضية الثانية.

قانون De Morgan الثاني: (AUB) C = A C ∩ B C

(الجامعة الأميركية في بيروت) ج

AUB = [1،2،3] U [2،3،4] = [1،2،3،4]

(AUB) C = [1،2،3،4] C = [0،5]

أ ج ∩ ب ج

أ C = [1،2،3] ج = [0،4،5]

ب ج = [2،3،4] ج = [0،1،5]

A C ∩ B C = [0،4،5] ∩ [0،1،5] = [0،5]

كما هو الحال مع الفرضية الأولى ، في المثال المعطى ، ينطبق قانون De Morgan الثاني أيضًا.

مصادر

إيه جي هاميلتون. المنطق لعلماء الرياضيات. افتتاحية Paraninfo ، مدريد ، 1981.

كارلوس إيفورا كاستيلو. المنطق ونظرية المجموعات . تم الوصول إليه في نوفمبر 2021