HomeazDe Morqanın qanunları hansılardır?

De Morqanın qanunları hansılardır?

Məntiq riyaziyyatın bir sahəsidir və onun bir hissəsi də çoxluqlar nəzəriyyəsidir. De Morqanın qanunları çoxluqlar arasında qarşılıqlı əlaqə haqqında iki postulatdır. Bu qanunlar Aristotel və Okhemli Uilyamda sələfləri qeyd edir. Augustus De Morqan 1806-1871-ci illər arasında yaşamış və ilk dəfə olaraq riyazi məntiqin formal strukturuna öz irəli sürdüyü qanunları daxil etmişdir.

Çoxluqlar nəzəriyyəsində operatorlar

De Morqanın postulatlarına keçməzdən əvvəl çoxluq nəzəriyyəsinin bəzi təriflərinə nəzər salaq.

A və B adlandıracağımız hər hansı iki element dəsti varsa, bu iki çoxluğun kəsişməsi hər iki çoxluq üçün ümumi olan elementlər çoxluğudur. İki çoxluğun kəsişməsi ∩ simvolu ilə işarələnir və C adlandıra biləcəyimiz başqa çoxluqdur; C = A∩B və C həm A qrupunda, həm də B qrupunda görünən elementlər çoxluğudur. Eynilə, A və B iki çoxluğun birliyi A və B-nin bütün elementlərini ehtiva edən yeni çoxluqdur və bu, ilə qeyd olunur. simvolu U. C çoxluğu, A və B-nin birliyi, C = AUB, A və B-nin bütün elementləri ilə inteqrasiya olunmuş çoxluqdur. Yadda saxlamalı olduğumuz üçüncü tərif çoxluğun tamamlayıcısıdır. : əgər bizdə müəyyən elementlər kainatı və bu kainatın A çoxluğu varsa, A-nın tamamlayıcısı həmin kainatın A çoxluğuna aid olmayan elementlərinin çoxluğudur. A-nın tamamlayıcı çoxluğu A C kimi işarələnir .

Çoxluqlar arasındakı bu üç operator bir neçə çoxluq arasındakı əməliyyata, yəni bir neçə çoxluğun kəsişməsinə, birləşməsinə və tamamlanmasına ümumiləşdirilə bilər. Sadə bir misala baxaq. Aşağıdakı şəkildə üç dəstdən ibarət Venn diaqramı göstərilir: tutuquşu, dəvəquşu, ördək və pinqvinlə təmsil olunan quşlar; tutuquşu, ördək, kəpənək və uçan balıqla təmsil olunan uçan canlılar və ördək, pinqvin, uçan balıq və balina ilə təmsil olunan üzən canlılar. Ördək üç dəstənin kəsişmə dəstidir: uçan quşların və canlıların birliyi dəvəquşu, tutuquşu, kəpənək, ördək, pinqvin və uçan balıqdan ibarətdir. Uçan və üzən canlıların tamamlayıcısı isə dəvəquşu olan dəstədir.

Üç dəstdən ibarət Venn diaqramı. Üç dəstdən ibarət Venn diaqramı.

De Morqanın qanunları

İndi biz De Morqanın qanunlarının postulatlarını görə bilərik. Birinci postulat deyir ki, iki A və B çoxluğunun çoxluq kəsişməsinin tamamlayıcısı A və B tamamlayıcısının çoxluq birliyinə bərabərdir. Əvvəlki bənddə müəyyən edilmiş operatorlardan istifadə edərək De Morqanın birinci qanununu yazmaq olar. aşağıdakı şəkildə:

(A∩B) C = A C UB C

De Morqanın ikinci qanunu postulatlaşdırır ki, A və B birləşmə çoxluğunun tamamlaması A-nın tamamlayıcı çoxluğunun B-nin tamamlayıcı çoxluğu ilə kəsişməsinə bərabərdir və o, aşağıdakı kimi qeyd olunur:

(AUB) C = A C ∩ B C

Bir nümunəyə baxaq. 0-dan 5-ə qədər olan tam ədədlər toplusunu nəzərdən keçirək. Bu [0,1,2,3,4,5] kimi işarələnir. Bu kainatda biz iki A və B dəstini müəyyən edirik. A 1, 2 və 3 ədədlərinin çoxluğudur; A = [1,2,3]. YB 2, 3 və 4 ədədlərinin çoxluğudur; B = [2,3,4]. De Morqanın birinci qanunu aşağıdakı kimi tətbiq olunacaq.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morqanın birinci qanunu: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Bərabərliyin hər iki tərəfindəki operatorların tətbiqi nəticəsi De Morqanın birinci qanununun təsdiqləndiyini göstərir. Məsələnin ikinci postulata tətbiqinə baxaq.

De Morqanın ikinci qanunu: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Birinci postulatda olduğu kimi, verilmiş nümunədə De Morqanın ikinci qanunu da tətbiq edilir.

Mənbələr

AG Hamilton. Riyaziyyatçılar üçün məntiq. Redaksiya Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Məntiq və çoxluqlar nəzəriyyəsi . Noyabr 2021 əldə edilib