HomebgКакви са законите на Де Морган?

Какви са законите на Де Морган?

Логиката е клон на математиката и част от нея е теория на множествата. Законите на Де Морган са два постулата за взаимодействието между множества. Тези закони записват предшественици в Аристотел и Уилям от Окам. Август Де Морган е живял между 1806 и 1871 г. и е първият, който включва постулираните от него закони във формалната структура на математическата логика.

Оператори в теорията на множествата

Преди да преминем към постулатите на Де Морган, нека разгледаме някои дефиниции на теорията на множествата.

Ако има две групи от елементи, които ще наричаме A и B, пресечната точка на тези две групи е групата от елементи, общи за двете групи. Пресечната точка на две множества се обозначава със символа ∩ и е друго множество, което можем да наречем C; C = A∩B и C е множеството от елементи, които се появяват както в група A, така и в група B. По същия начин обединението на две множества A и B е ново множество, съдържащо всички елементи на A и B, и се отбелязва с символът U. Множеството C, обединение на A и B, C = AUB, е множество, което е интегрирано с всички елементи на A и B. Третата дефиниция, която трябва да запомним, е допълнение към множество: ако имаме определена вселена от елементи и множество A на тази вселена, допълнението на A е множеството от елементи на тази вселена, които не принадлежат на множеството A. Допълнителното множество на A се означава като A C .

Тези три оператора между множества могат да бъдат обобщени до операцията между няколко множества, тоест до пресичане, обединение и допълнение на няколко множества. Нека да разгледаме един прост пример. Следващата фигура показва диаграмата на Вен от три групи: птиците, представени от папагала, щрауса, патицата и пингвина; живите същества, които летят, представени от папагала, патицата, пеперудата и летящата риба, и живите същества, които плуват, представени от патицата, пингвина, летящата риба и кита. Патицата е пресечната група на трите групи: обединената група от птици и живи същества, които летят, се състои от щраус, папагал, пеперуда, патица, пингвин и летяща риба. И допълнението на живите същества, които летят и тези, които плуват, е комплектът, който съдържа щрауса.

Диаграма на Вен от три множества. Диаграма на Вен от три множества.

Законите на Де Морган

Сега можем да видим постулатите на законите на Де Морган. Първият постулат гласи, че допълнението на пресечната точка на две множества A и B е равно на обединението на множеството на допълнението на A и допълнението на B. Използвайки операторите, дефинирани в предходния параграф, първият закон на Де Морган може да бъде написан по следния начин:

(A∩B) C = A C UB C

Вторият закон на Де Морган постулира, че допълнението на обединеното множество на A и B е равно на пресечната точка на допълващото множество на A с допълващото множество на B и се отбелязва, както следва:

(AUB) C = A C ∩ B C

Да видим един пример. Разгледайте набора от цели числа от 0 до 5. Това се означава като [0,1,2,3,4,5]. В тази вселена ние дефинираме две множества A и B. A е множеството от числа 1, 2 и 3; A = [1,2,3]. YB е набор от числа 2, 3 и 4; B = [2,3,4]. Първият закон на Де Морган ще се прилага, както следва.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Първият закон на Де Морган: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Резултатът от прилагането на операторите от двете страни на равенството показва, че първият закон на Де Морган е проверен. Нека видим приложението на примера към втория постулат.

Втори закон на Де Морган: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Както при първия постулат, в дадения пример важи и вторият закон на Де Морган.

Източници

AG Хамилтън. Логика за математици. Editorial Paraninfo, Мадрид, 1981 г.

Карлос Ивора Кастило. Логика и теория на множествата . Достъп през ноември 2021 г