Homebnডি মরগানের আইন কি?

ডি মরগানের আইন কি?

যুক্তিবিদ্যা হল গণিতের একটি শাখা, এবং এর একটি অংশ হল সেট তত্ত্ব। ডি মরগানের আইন দুটি সেটের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে ধারণা। এই আইনগুলি ওকহামের অ্যারিস্টটল এবং উইলিয়ামের পূর্ববর্তী ঘটনাগুলি রেকর্ড করে। অগাস্টাস ডি মরগান 1806 এবং 1871 সালের মধ্যে বসবাস করতেন এবং গাণিতিক যুক্তিবিদ্যার আনুষ্ঠানিক কাঠামোতে তিনি যে আইনগুলি পোষ্ট করেছিলেন তা অন্তর্ভুক্ত করেন।

সেট তত্ত্বে অপারেটর

ডি মরগানের অনুমানে যাওয়ার আগে, আসুন সেট তত্ত্বের কিছু সংজ্ঞা দেখি।

যদি কোন দুটি উপাদানের সেট থাকে, যাকে আমরা A এবং B বলব, এই দুটি সেটের ছেদ হল উভয় সেটের সাধারণ উপাদানগুলির সেট। দুটি সেটের ছেদকে ∩ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং আরেকটি সেট যাকে আমরা C বলতে পারি; C = A∩B, এবং C হল উপাদানগুলির সেট যা A এবং B গ্রুপ উভয়েই উপস্থিত হয়। একইভাবে, A এবং B দুটি সেটের মিলন হল A এবং B এর সমস্ত উপাদান সমন্বিত একটি নতুন সেট, এবং এটি উল্লেখ করা হয়েছে প্রতীক U. সেট C, A এবং B এর মিলন, C = AUB, একটি সেট যা A এবং B এর সমস্ত উপাদানের সাথে একীভূত। তৃতীয় সংজ্ঞা যা আমাদের মনে রাখতে হবে তা হল একটি সেটের পরিপূরক : যদি আমাদের কাছে উপাদানগুলির একটি নির্দিষ্ট মহাবিশ্ব এবং এই মহাবিশ্বের একটি সেট থাকে তবে A এর পরিপূরকটি সেই মহাবিশ্বের উপাদানগুলির সেট যা A সেটের অন্তর্গত নয়। A এর পরিপূরক সেটটিকে A C হিসাবে চিহ্নিত করা হয় ।

সেটের মধ্যে এই তিনটি অপারেটরকে বেশ কয়েকটি সেটের মধ্যে অপারেশনে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, অর্থাৎ, বেশ কয়েকটি সেটের ছেদ, মিলন এবং পরিপূরক। এর একটি সহজ উদাহরণ তাকান. নিম্নলিখিত চিত্রটি তিনটি সেটের ভেন ডায়াগ্রাম দেখায়: পাখি, তোতা, উটপাখি, হাঁস এবং পেঙ্গুইন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা; জীবন্ত প্রাণী যারা উড়ে যায়, যাকে প্রতিনিধিত্ব করে তোতা, হাঁস, প্রজাপতি এবং উড়ন্ত মাছ, এবং জীবিত প্রাণী যারা সাঁতার কাটে, হাঁস, পেঙ্গুইন, উড়ন্ত মাছ এবং তিমি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। হাঁস হল তিনটি সেটের সংযোগস্থল: পাখি এবং জীবন্ত প্রাণীর মিলন সেট যা উড়ে যায় উটপাখি, তোতাপাখি, প্রজাপতি, হাঁস, পেঙ্গুইন এবং উড়ন্ত মাছের সমন্বয়ে। এবং জীবন্ত প্রাণীদের পরিপূরক যেগুলি উড়ে যায় এবং যারা সাঁতার কাটে সেগুলি হল উটপাখি ধারণ করে।

তিনটি সেটের ভেন ডায়াগ্রাম। তিনটি সেটের ভেন ডায়াগ্রাম।

ডি মরগানের আইন

এখন আমরা ডি মরগানের আইনের অনুমান দেখতে পাচ্ছি। প্রথম অনুচ্ছেদটি বলে যে দুটি সেট A এবং B এর পরিপূরকটি A এর পরিপূরক এবং B এর পরিপূরকের সেট মিলনের সমান। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে সংজ্ঞায়িত অপারেটরগুলি ব্যবহার করে, ডি মরগানের প্রথম আইনটি লেখা যেতে পারে। নিম্নলিখিত উপায় হিসাবে:

(A∩B) C = A C UB C

ডি মর্গানের দ্বিতীয় আইন অনুমান করে যে A এবং B এর মিলন সেটের পরিপূরক A এর পরিপূরক সেটের সাথে B এর পরিপূরক সেটের ছেদকে সমান, এবং এটি নিম্নরূপ উল্লেখ করা হয়েছে:

(AUB) C = A C ∩ B C

একটি উদাহরণ দেখা যাক। 0 থেকে 5 পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যার সেট বিবেচনা করুন। এটি [0,1,2,3,4,5] হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। এই মহাবিশ্বে আমরা A এবং B দুটি সেট সংজ্ঞায়িত করি। A হল 1, 2 এবং 3 সংখ্যার সেট; ক = [১,২,৩]। YB হল 2, 3 এবং 4 সংখ্যার সেট; খ = [২,৩,৪]। ডি মরগানের প্রথম আইন নিম্নরূপ প্রযোজ্য হবে।

ক = [1,2,3]; খ = [২,৩,৪]

ডি মরগানের প্রথম সূত্র: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) গ

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

সমতার উভয় পক্ষের অপারেটরদের আবেদনের ফলাফল দেখায় যে ডি মরগানের প্রথম আইনটি যাচাই করা হয়েছে। আসুন দ্বিতীয় পদে উদাহরণের প্রয়োগ দেখি।

ডি মরগানের দ্বিতীয় সূত্র: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) গ

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

প্রথম নীতির মতো, প্রদত্ত উদাহরণে ডি মরগানের দ্বিতীয় আইনটিও প্রযোজ্য।

সূত্র

এজি হ্যামিল্টন। গণিতবিদদের জন্য যুক্তি. সম্পাদকীয় প্যারানিনফো, মাদ্রিদ, 1981।

কার্লোস ইভোরা কাস্টিলো। যুক্তিবিদ্যা এবং সেট তত্ত্বনভেম্বর 2021 এ অ্যাক্সেস করা হয়েছে