تفاوت بین برون یابی و درون یابی

هنگام انجام انواع مختلف محاسبات، چه در علوم یا مهندسی، متوسل شدن به داده های تجربی که در جداول مختلف سازماندهی شده اند بسیار رایج است. این داده‌ها معمولاً به دو متغیر مربوط می‌شوند که می‌دانیم به یکدیگر وابسته هستند، اما وابستگی ریاضی آنها را نمی‌دانیم. اگر داده‌های مورد نیاز ما همه در جدول باشد، مشکلی ایجاد نمی‌کند، اما به ندرت این اتفاق می‌افتد. بیشتر متداول است که ما به مقدار یکی از متغیرها برای مقدار دیگری که در جدول یافت نمی شود نیاز داریم.

وقتی این اتفاق می‌افتد، می‌توانیم داده‌های تجربی یا جدول‌بندی‌شده را به یک تابع ریاضی چند جمله‌ای برازش دهیم، که سپس می‌توانیم از آن برای تقریب مقدار مجهول متغیر مورد نظر استفاده کنیم. این فرآیند ممکن است شامل درون یابی یا برون یابی باشد.

این دو فرآیند ارتباط نزدیکی با هم دارند و بر اساس یک روش تنظیم اولیه هستند، اما یکسان نیستند. در ادامه ، تفاوت های اصلی بین این دو روش برای تخمین مقدار یک متغیر وابسته برای یک مقدار معین از یک متغیر مستقل را مورد بحث قرار خواهیم داد.

تعریف درون یابی

درون یابی فرآیند تخمین مقدار یک متغیر وابسته برای مقدار خاصی از متغیر مستقل از دانش مجموعه ای از داده ها یا نقاط گسسته بالا و پایین نقطه ای است که می خواهیم تخمین بزنیم. به عبارت دیگر، فرآیند تخمین نقطه ای است که بین دو نقطه شناخته شده قرار دارد. نمودار زیر مجموعه ای از داده ها را نشان می دهد که با نقاط آبی نشان داده شده اند و نقطه قرمز نشان دهنده درون یابی بین نقاط در X 1 و X 2 است.

کلمه interpolation از ترکیب دو کلمه لاتین آمده است که پیشوند inter- به معنای بین یا در فواصل زمانی و -polire به معنای هل دادن یا راندن است که اشاره به این واقعیت دارد که درون یابی مربوط به هل دادن یا حرکت دادن دو است. داده ها تا نقطه ای که بین آنها قرار دارد.

تعریف برون یابی

برون یابی را می توان به عنوان فرآیند تخمین مقدار یک متغیر وابسته برای مقداری از متغیر مستقل، از مجموعه ای از نقاط یا داده هایی که همگی بزرگتر یا کمتر از نقطه ای هستند که باید تخمین زده شود، درک کرد.

به عبارت دیگر، فرآیند تخمین مقدار نقطه ای است که بالاتر یا پایین تر از تمام نقاط یا داده های شناخته شده است. شکل زیر نمونه ای از برون یابی داده ها به نقطه ای بالاتر از همه داده های شناخته شده را نشان می دهد.

از دیدگاه ریشه‌شناسی، برون‌یابی دارای همان ریشه لاتین –polire است، فقط این بار با پیشوند لاتین extra- که به معنای خارج از آن است، قرار می‌گیرد. بنابراین، این اصطلاح به تخمین نقاطی اشاره دارد که خارج از محدوده مجموعه داده اصلی هستند، چه به این دلیل که از همه داده های شناخته شده بیشتر یا کمتر است.

تفاوت در عدم قطعیت درون یابی و برون یابی

هنگام مقایسه درون یابی با برون یابی، می توان مشاهده کرد که تفاوت مهمی در مورد خطر تولید نتایجی وجود دارد که به طور قابل توجهی از ارزش واقعی داده های مورد نظر ما انحراف دارند. در مورد درون یابی، از آنجایی که بین دو نقطه متوالی انجام می شود، می توانیم درجه خاصی از اطمینان داشته باشیم که مقداری که درون یابی می کنیم جایی بین این دو نقطه است. یعنی ما اطمینان داریم که مقدار تابع مجهول قبل از رسیدن به نقطه بعدی بالا یا پایین نمی رود، زیرا می دانیم آن نقطه بعدی کجاست.

در عوض، زمانی که ما یک برون یابی انجام می دهیم، رفتار داده ها را به جلو یا عقب نشان می دهیم، و از آنجایی که هیچ نقطه مرجعی در جلو (یا بیشتر به عقب، اگر چنین بود) وجود ندارد، پس راهی برای دانستن نحوه رفتار آن نداریم. واقعا متغیر است. ممکن است با همان رفتار قبلی خود ادامه دهد، مثلاً ممکن است ناگهان به هر طرف شلیک کند. به همین دلیل، برون یابی دارای عدم قطعیت بیشتری نسبت به درون یابی است.

آنها معمولاً برای توابع چند جمله ای مختلف برازش داده می شوند

فرآیندهای برون یابی و درون یابی مبتنی بر تنظیم دو یا چند نقطه شناخته شده برای یک تابع ریاضی است که به ما امکان می دهد مقدار تابع را در سایر نقاط ناشناخته پیش بینی کنیم. در هر دو مورد درون یابی و برون یابی، متداول ترین تابع مورد استفاده برای تخمین، تابع خطی (y = mx +b) است. در حالی که این تابع هم برای درون یابی و هم برای برون یابی زمانی مناسب است که مقدار مجهولی که می خواهیم تخمین بزنیم به طور منطقی به نقاط شناخته شده نزدیک است، این دیگر در هنگام برون یابی دور از افراط ها صدق نمی کند.

در واقع، اگر داده‌ها به‌عنوان یک کل به‌طور قابل‌توجهی از نظر رفتار خطی نباشند، برون‌یابی‌ها می‌توانند به سرعت از مقدار واقعی دور شوند، زیرا از هر یک از این دو افراط دور می‌شویم. به همین دلیل است که برون یابی معمولاً نیازمند دقت بیشتری و استفاده از توابع برون یابی است که پیچیده تر یا دارای نظم بالاتری نسبت به توابع درون یابی هستند.

در مورد دوم، درون یابی خطی تقریباً همیشه کافی است، با این فرض که داده ها یا نقاط شناخته شده خیلی دور از هم نباشند.

آنها ممکن است در تعداد اقلام داده مورد نیاز برای برآورد متفاوت باشند

تفاوت مهم دیگر بین درون یابی و برون یابی تعداد اقلام داده مورد نیاز برای انجام برآورد است. در درون یابی، تقریباً همیشه فرض می شود که ارزش نقطه جستجو شده روی یک خط مستقیم است که دو نزدیکترین نقطه را به هم می پیوندد. در این صورت دانستن این دو نکته برای انجام درون یابی کافی است. به عبارت دیگر، اثر یک خطا در برآورد شیب بر درون یابی به ندرت جدی است، زیرا نقطه تخمینی تقریباً همیشه بین دو نقطه شناخته شده قرار دارد.

از سوی دیگر، در مورد برون یابی، از آنجایی که هرچه از بالاترین (یا پایین ترین) نقطه دورتر می شویم، تفاوت در شیب خط تأثیر فزاینده ای بر مقدار y دارد، گرفتن تنها دو مورد بسیار خطرناک است. امتیاز برای محاسبه شیب. در این موارد، کاری که معمولاً انجام می‌شود این است که از طریق فرآیند حداقل مربعات، چندین نقطه را به بهترین خط یا تابع چند جمله‌ای دیگر با مرتبه بالاتر منطبق کنیم، بنابراین اطمینان حاصل می‌کنیم که خطی که به جلو (یا به عقب) برون‌یابی می‌کنیم، رفتار کلی را منعکس می‌کند. داده ها به عنوان یک کل و نه فقط چند مورد از آنها.

درون یابی و برون یابی خطی

در مورد درون یابی خطی و برون یابی خطی، اساسا از معادلات ریاضی مشابهی استفاده می شود. در هر دو مورد، تابع درون یابی به شکل y = mx + b است، که در آن y مقداری است که برای مقدار معین x به دنبال آن هستیم، m شیب خط مستقیمی است که داده ها را به آن برازش می کنیم، و b برش با محور y تابع درونیابی است.

شیب یک تابع خطی را می توان از هر دو نقطه با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

ما می توانیم این فرمول را دو بار اعمال کنیم، یک بار بین هر دو نقطه از سری داده های شناخته شده، و دیگری بین یک نقطه شناخته شده و نقطه ای که می خواهیم پیدا کنیم. از آنجایی که در هر دو مورد شیب یکسان است، می‌توانیم هر دو عبارت را مطابقت دهیم و بنابراین فرمولی را بدست آوریم که مقدار y را که به دنبال آن هستیم به مقدار معین x که داریم مرتبط می‌کند.

مثال

فرض کنید می خواهیم از دو نقطه متوالی p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) و p k =(x k ; y k ) برای درون یابی یا برون یابی هر نقطه (x ; y) استفاده کنیم. سپس می توانیم شیب را دو بار بنویسیم و برابر کنیم تا به دست آوریم:

با تنظیم مجدد این معادله، به دست می آوریم:

توجه داشته باشید که در این مورد، هیچ چیز در مورد موقعیت نقطه (x ; y) در رابطه با دو داده ای که برای تخمین استفاده می شود، فرض نمی شود، بنابراین از معادله یکسانی هم برای درون یابی و هم برای برون یابی استفاده می شود.

اگر تأیید شود که x k-1 < x < x k ، یا به عبارت دیگر، x بین x k-1 و x k قرار دارد، آنگاه درون یابی است. از طرف دیگر، اگر x>x max یا x<x min ، یعنی اگر x بزرگتر از مقدار حداکثر یا کمتر از مقدار حداقل سری داده باشد، آنگاه برون یابی است.

مثال درون یابی

فرض کنید می دانیم که تقاضا برای پیتزا در شهر مریدا ونزوئلا 500000 واحد در سال است در حالی که میانگین قیمت هر واحد 20 دلار است، در حالی که با قیمت متوسط ​​15 دلار تقاضا به 750000 افزایش می یابد. ما علاقه مندیم که تخمین بزنیم اگر قیمت را 16.5 دلار تعیین کنیم، تقاضا چقدر خواهد بود.

راه حل

توجه داشته باشید که این نمونه ای از درون یابی است، زیرا نقطه ای که می خواهیم تخمین بزنیم، مربوط به قیمت 16.5 دلار است، بین دو نقطه شناخته شده قرار دارد (یعنی بین 15 تا 20 دلار است). برای این مثال داریم:

اکنون با استفاده از فرمول درونیابی خطی:

 بنابراین، اگر میانگین قیمت پیتزا 16.5 دلار در هر واحد تعیین شود، تقاضای سالانه 675000 پیتزا در سال خواهد بود.

نمونه هایی از برون یابی

فرض کنید در همان مثال بالا می خواهیم تعیین کنیم که اگر قیمت به 25 دلار در هر واحد افزایش یابد، تقاضا چقدر خواهد بود. از آنجایی که در این مورد تأیید می شود که x = $25 > $20، پس یک برون یابی است. باز هم داده ها عبارتند از:

جایگزینی:

بنابراین، برون یابی پیش بینی می کند که اگر قیمت به 25 دلار افزایش یابد، تقاضا به نصف 20 دلار کاهش می یابد.

منابع

آلونسو (2006، 13 فوریه). 3 روش های درونیابی از نقاط . دانشگاه مادرید https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html

گونزا، دی (2016، سپتامبر). واحد: درون یابی و برون یابی داده ها . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf

لس کاناریس. (دوم). تفاوت بین برون یابی و درون یابی – جالب – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-fference-between-extrapolation-and-interpolation.html

پینزون، جی. (2013، 9 اکتبر). درون یابی و برون یابی . جولیاناپینزون https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/

یونیگال. (2021، 14 سپتامبر). فرمول درونیابی خطی، تعریف، مثال ها و موارد دیگر . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/