Homefaقوانین دی مورگان چیست؟

قوانین دی مورگان چیست؟

منطق شاخه ای از ریاضیات است و بخشی از آن نظریه مجموعه ها است. قوانین دی مورگان دو فرضیه در مورد تعامل بین مجموعه ها هستند. این قوانین پیشینیان را در ارسطو و ویلیام اوکام ثبت می کنند. آگوستوس دی مورگان بین سال‌های 1806 و 1871 زندگی می‌کرد و اولین کسی بود که قوانینی را که در ساختار رسمی منطق ریاضی فرض کرد گنجاند.

عملگرها در نظریه مجموعه ها

قبل از اینکه به فرضیه های دی مورگان برویم، اجازه دهید به تعاریف نظریه مجموعه ها نگاهی بیندازیم.

اگر هر دو مجموعه از عناصر وجود داشته باشد که آنها را A و B می نامیم، محل تلاقی این دو مجموعه ، مجموعه عناصر مشترک هر دو مجموعه است. محل تلاقی دو مجموعه با علامت ∩ نشان داده می شود و مجموعه دیگری است که می توانیم آن را C بنامیم. C = A∩B و C مجموعه عناصری است که در هر دو گروه A و B ظاهر می شوند. به همین ترتیب، اتحاد دو مجموعه A و B مجموعه جدیدی است که شامل همه عناصر A و B است و با ذکر شده است. نماد U. مجموعه C، اتحاد A و B، C = AUB، مجموعه ای است که با تمام عناصر A و B یکپارچه شده است. تعریف سومی که باید به خاطر بسپاریم مکمل یک مجموعه است.: اگر یک عالم معین از عناصر و یک مجموعه A از این جهان داشته باشیم، متمم A مجموعه ای از عناصر آن جهان است که به مجموعه A تعلق ندارند. مجموعه مکمل A ​​با A C نشان داده می شود .

این سه عملگر بین مجموعه ها را می توان به عملیات بین چند مجموعه تعمیم داد، یعنی به تقاطع، اتحاد و مکمل چند مجموعه. بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم. شکل زیر نمودار ون را از سه مجموعه نشان می دهد: پرندگان که با طوطی، شترمرغ، اردک و پنگوئن نشان داده شده اند. موجودات زنده‌ای که پرواز می‌کنند، با نماد طوطی، اردک، پروانه و ماهی پرنده، و موجودات زنده‌ای که شنا می‌کنند، به نمایندگی از اردک، پنگوئن، ماهی پرنده و نهنگ. اردک مجموعه تقاطع سه مجموعه است: مجموعه اتحاد پرندگان و موجودات زنده ای که پرواز می کنند از شترمرغ، طوطی، پروانه، اردک، پنگوئن و ماهی پرنده تشکیل شده است. و مکمل موجودات زنده که پرواز می کنند و آنها که شنا می کنند مجموعه ای است که شامل شترمرغ است.

نمودار ون سه مجموعه. نمودار ون سه مجموعه.

قوانین دی مورگان

اکنون می توانیم اصول قوانین دی مورگان را ببینیم. فرض اول می گوید که متمم تقاطع مجموعه دو مجموعه A و B برابر است با مجموعه مجموعه متمم A و متمم B. با استفاده از عملگرهای تعریف شده در پاراگراف قبل می توان قانون اول دی مورگان را نوشت. به صورت زیر:

(A∩B) C = A C UB C

قانون دوم دی مورگان فرض می کند که متمم مجموعه اتحادیه A و B برابر است با محل تلاقی مجموعه مکمل A ​​با مجموعه مکمل B و به شرح زیر است:

(AUB) C = A C ∩ B C

بیایید یک مثال را ببینیم. مجموعه اعداد صحیح از 0 تا 5 را در نظر بگیرید. در این جهان ما دو مجموعه A و B را تعریف می کنیم. A مجموعه اعداد 1، 2 و 3 است. A = [1،2،3]. YB مجموعه اعداد 2، 3 و 4 است. B = [2،3،4]. قانون اول دی مورگان به شرح زیر اعمال می شود.

A = [1،2،3]; B = [2،3،4]

قانون اول دی مورگان: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) ج

A∩B = [1،2،3]∩[2،3،4] = [2،3]

(A∩B) C = [2،3] C = [0،1،4،5]

A C UB C

A C = [1،2،3] C = [0،4،5]

B C = [2،3،4] C = [0،1،5]

A C UB C = [0،4،5]U[0،1،5] = [0،1،4،5]

نتیجه اعمال عملگرها در دو طرف برابری نشان می دهد که قانون اول دی مورگان تأیید شده است. اجازه دهید کاربرد مثال را در فرض دوم ببینیم.

قانون دوم دی مورگان: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1،2،3]U[2،3،4] = [1،2،3،4]

(AUB) C = [1،2،3،4] C = [0،5]

A C ∩ B C

A C = [1،2،3] C = [0،4،5]

B C = [2،3،4] C = [0،1،5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

همانند فرض اول، در مثال داده شده، قانون دوم دی مورگان نیز اعمال می شود.

منابع

AG همیلتون. منطق برای ریاضیدانان سرمقاله Paraninfo، مادرید، 1981.

کارلوس ایورا کاستیو. منطق و نظریه مجموعه ها . دسترسی به نوامبر 2021