Homeguડી મોર્ગનના કાયદા શું છે?

ડી મોર્ગનના કાયદા શું છે?

તર્કશાસ્ત્ર એ ગણિતની એક શાખા છે, અને તેનો એક ભાગ સેટ થિયરી છે. ડી મોર્ગનના કાયદા સમૂહો વચ્ચેની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા વિશે બે ધારણાઓ છે. આ કાયદાઓ ઓકહામના એરિસ્ટોટલ અને વિલિયમમાં પૂર્વવર્તી નોંધ કરે છે. ઓગસ્ટસ ડી મોર્ગન 1806 અને 1871 ની વચ્ચે રહેતા હતા અને ગાણિતિક તર્કની ઔપચારિક રચનામાં તેમણે ધારેલા કાયદાઓનો સમાવેશ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા.

સેટ થિયરીમાં ઓપરેટરો

ડી મોર્ગનની ધારણાઓ પર આગળ વધતા પહેલા, ચાલો સેટ થિયરીની કેટલીક વ્યાખ્યાઓ જોઈએ.

જો તત્વોના કોઈપણ બે સેટ હોય, જેને આપણે A અને B કહીશું, તો આ બે સેટનું આંતરછેદ બંને સેટમાં સમાન તત્વોનો સમૂહ છે. બે સમૂહોનું આંતરછેદ પ્રતીક ∩ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને બીજો સમૂહ છે જેને આપણે C કહી શકીએ છીએ; C = A∩B, અને C એ તત્વોનો સમૂહ છે જે જૂથ A અને જૂથ B બંનેમાં દેખાય છે. તેવી જ રીતે, A અને B બે સમૂહોનું જોડાણ એ A અને B ના તમામ ઘટકો ધરાવતો નવો સમૂહ છે, અને તેની સાથે તેની નોંધ લેવામાં આવે છે. પ્રતીક U. સમૂહ C, A અને Bનું જોડાણ, C = AUB, એ સમૂહ છે જે A અને B ના તમામ ઘટકો સાથે સંકલિત છે. ત્રીજી વ્યાખ્યા જે આપણે યાદ રાખવી જોઈએ તે સમૂહનું પૂરક છે : જો આપણી પાસે તત્વોનું ચોક્કસ બ્રહ્માંડ હોય અને આ બ્રહ્માંડનો સમૂહ A હોય, તો A નું પૂરક એ બ્રહ્માંડના ઘટકોનો સમૂહ છે જે A સમૂહ સાથે સંબંધિત નથી. A ના પૂરક સમૂહને A C તરીકે સૂચિત કરવામાં આવે છે .

સેટ વચ્ચેના આ ત્રણ ઓપરેટરોને કેટલાક સેટ વચ્ચેના ઓપરેશન માટે સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે, એટલે કે કેટલાક સેટના આંતરછેદ, યુનિયન અને પૂરક. ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ જોઈએ. નીચેની આકૃતિ ત્રણ સમૂહોની વેન આકૃતિ દર્શાવે છે: પક્ષીઓ, જે પોપટ, શાહમૃગ, બતક અને પેંગ્વિન દ્વારા રજૂ થાય છે; ઉડતા જીવો, જે પોપટ, બતક, બટરફ્લાય અને ઉડતી માછલી દ્વારા રજૂ થાય છે, અને જીવંત પ્રાણીઓ કે જેઓ તરી જાય છે, જે બતક, પેંગ્વિન, ઉડતી માછલી અને વ્હેલ દ્વારા રજૂ થાય છે. બતક એ ત્રણ સમૂહોનો આંતરછેદ સમૂહ છે: પક્ષીઓ અને જીવંત પ્રાણીઓનો એક સમૂહ જે ઉડે છે તે શાહમૃગ, પોપટ, બટરફ્લાય, બતક, પેંગ્વિન અને ઉડતી માછલીનો બનેલો છે. અને ઉડનારા અને તરનારા જીવોના પૂરક એ સમૂહ છે જેમાં શાહમૃગ છે.

ત્રણ સેટનો વેન ડાયાગ્રામ. ત્રણ સેટનો વેન ડાયાગ્રામ.

ડી મોર્ગનના કાયદા

હવે આપણે ડી મોર્ગનના કાયદાઓની ધારણા જોઈ શકીએ છીએ. પ્રથમ પોસ્ટ્યુલેટ કહે છે કે બે સેટ A અને B ના સમૂહ આંતરછેદની પૂરક A ના પૂરક અને B ના પૂરકના સમૂહ યુનિયન સમાન છે. અગાઉના ફકરામાં વ્યાખ્યાયિત ઓપરેટર્સનો ઉપયોગ કરીને, ડી મોર્ગનનો પ્રથમ કાયદો લખી શકાય છે. નીચેની રીત તરીકે:

(A∩B) C = A C UB C

ડી મોર્ગનનો બીજો કાયદો અનુમાન કરે છે કે A અને B ના યુનિયન સમૂહના પૂરક એ B ના પૂરક સમૂહ સાથે A ના પૂરક સમૂહના આંતરછેદ સમાન છે, અને તે નીચે મુજબ નોંધવામાં આવે છે:

(AUB) C = A C ∩ B C

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. 0 થી 5 સુધીના પૂર્ણાંકોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. આ [0,1,2,3,4,5] તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. આ બ્રહ્માંડમાં આપણે બે સેટ A અને B ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. A એ સંખ્યા 1, 2 અને 3 નો સમૂહ છે; A = [1,2,3]. YB એ સંખ્યાઓ 2, 3 અને 4 નો સમૂહ છે; B = [2,3,4]. ડી મોર્ગનનો પ્રથમ કાયદો નીચે મુજબ લાગુ થશે.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

ડી મોર્ગનનો પ્રથમ કાયદો: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

સમાનતાની બંને બાજુઓ પર ઓપરેટરોની અરજીનું પરિણામ દર્શાવે છે કે ડી મોર્ગનનો પ્રથમ કાયદો ચકાસાયેલ છે. ચાલો બીજા પોસ્ચ્યુલેટ માટે ઉદાહરણનો ઉપયોગ જોઈએ.

ડી મોર્ગનનો બીજો કાયદો: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) સી

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

પ્રથમ ધારણાની જેમ, આપેલ ઉદાહરણમાં ડી મોર્ગનનો બીજો કાયદો પણ લાગુ પડે છે.

સ્ત્રોતો

એજી હેમિલ્ટન. ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે તર્કશાસ્ત્ર. સંપાદકીય પેરાનિન્ફો, મેડ્રિડ, 1981.

કાર્લોસ Ivorra Castillo. તર્કશાસ્ત્ર અને સેટ થિયરી . નવેમ્બર 2021માં ઍક્સેસ