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डी मॉर्गन के कानून क्या हैं?

लॉजिक गणित की एक शाखा है, और इसका एक हिस्सा सेट थ्योरी है। डी मॉर्गन के नियम सेट के बीच की बातचीत के बारे में दो अभिधारणाएँ हैं। ये कानून अरस्तू और ओखम के विलियम में पूर्ववर्ती रिकॉर्ड करते हैं। ऑगस्टस डी मॉर्गन 1806 और 1871 के बीच रहते थे और गणितीय तर्क की औपचारिक संरचना में उनके द्वारा बताए गए कानूनों को शामिल करने वाले पहले व्यक्ति थे।

सेट थ्योरी में ऑपरेटर्स

डी मॉर्गन के सिद्धांत पर आगे बढ़ने से पहले, आइए समुच्चय सिद्धांत की कुछ परिभाषाओं को देखें।

यदि तत्वों के कोई दो सेट हैं, जिन्हें हम A और B कहेंगे, तो इन दो सेटों का प्रतिच्छेदन तत्वों का वह सेट है जो दोनों सेटों के लिए सामान्य है। दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन को प्रतीक ∩ द्वारा निरूपित किया जाता है, और एक अन्य समुच्चय है जिसे हम C कह सकते हैं; C = A∩B, और C उन तत्वों का समूह है जो समूह A और समूह B दोनों में दिखाई देते हैं। इसी तरह, दो सेट A और B का मिलन एक नया सेट है जिसमें A और B के सभी तत्व शामिल हैं, और इसे इसके साथ नोट किया जाता है प्रतीक यू। सेट सी, ए और बी का संघ, सी = एयूबी, एक सेट है जो ए और बी के सभी तत्वों के साथ एकीकृत है। तीसरी परिभाषा जिसे हमें याद रखना चाहिए वह एक सेट का पूरक है : यदि हमारे पास तत्वों का एक निश्चित ब्रह्मांड है और इस ब्रह्मांड का एक समुच्चय A है, तो A का पूरक उस ब्रह्मांड के तत्वों का समुच्चय है जो समुच्चय A से संबंधित नहीं है। A के पूरक समुच्चय को A C के रूप में निरूपित किया जाता है ।

सेट के बीच इन तीन ऑपरेटरों को कई सेटों के बीच संचालन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कि चौराहे, संघ और कई सेटों के पूरक हैं। आइए एक साधारण उदाहरण देखें। निम्नलिखित आंकड़ा तीन सेटों के वेन आरेख को दिखाता है: तोते, शुतुरमुर्ग, बत्तख और पेंगुइन द्वारा प्रस्तुत पक्षी; जीवित प्राणी जो उड़ते हैं, उनका प्रतिनिधित्व तोता, बत्तख, तितली और उड़ने वाली मछली करते हैं, और जीवित प्राणी जो तैरते हैं, उनका प्रतिनिधित्व बत्तख, पेंगुइन, उड़ने वाली मछली और व्हेल द्वारा किया जाता है। बत्तख तीन सेटों का चौराहा सेट है: उड़ने वाले पक्षियों और जीवित प्राणियों का संघ सेट शुतुरमुर्ग, तोता, तितली, बत्तख, पेंगुइन और उड़ने वाली मछली से बना है। और जीवित प्राणियों का पूरक जो उड़ते हैं और जो तैरते हैं वह सेट है जिसमें शुतुरमुर्ग होता है।

तीन सेटों का वेन आरेख। तीन सेटों का वेन आरेख।

डी मॉर्गन के कानून

अब हम डी मॉर्गन के नियमों की अभिधारणाओं को देख सकते हैं। पहला सिद्धांत कहता है कि दो सेट ए और बी के सेट चौराहे का पूरक ए के पूरक और बी के पूरक के सेट यूनियन के बराबर है। पिछले पैराग्राफ में परिभाषित ऑपरेटरों का उपयोग करके, डी मॉर्गन का पहला कानून लिखा जा सकता है निम्नलिखित तरीके से:

(ए∩बी) सी = ए सी यूबी सी

डी मॉर्गन का दूसरा कानून मानता है कि ए और बी के संघ सेट का पूरक बी के पूरक सेट के साथ ए के पूरक सेट के चौराहे के बराबर है, और इसे निम्नानुसार नोट किया गया है:

(एयूबी) सी = ए सी ∩ बी सी

आइए एक उदाहरण देखें। 0 से 5 तक पूर्णांकों के सेट पर विचार करें। इसे [0,1,2,3,4,5] के रूप में दर्शाया गया है। इस ब्रह्माण्ड में हम दो समुच्चय A और B को परिभाषित करते हैं। A संख्या 1, 2 और 3 का समुच्चय है; ए = [1,2,3]। YB संख्या 2, 3 और 4 का समुच्चय है; बी = [2,3,4]। डी मॉर्गन का पहला नियम इस प्रकार लागू होगा।

ए = [1,2,3]; बी = [2,3,4]

डी मॉर्गन का पहला कानून: (ए∩बी) सी = ए सी यूबी सी

(ए∩बी) सी

ए∩बी = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(एबी) सी = [2,3] सी = [0,1,4,5]

ए सी यूबी सी

ए सी = [1,2,3] सी = [0,4,5]

बी सी = [2,3,4] सी = [0,1,5]

ए सी यूबी सी = [0,4,5] यू [0,1,5] = [0,1,4,5]

समानता के दोनों पक्षों पर ऑपरेटरों के आवेदन के परिणाम से पता चलता है कि डी मॉर्गन का पहला कानून सत्यापित है। आइए दूसरी अभिधारणा पर उदाहरण के अनुप्रयोग को देखें।

डी मॉर्गन का दूसरा कानून: (एयूबी) सी = ए सी ∩ बी सी

(एयूबी) सी

एयूबी = [1,2,3] यू [2,3,4] = [1,2,3,4]

(एयूबी) सी = [1,2,3,4] सी = [0,5]

ए सी ∩ बी सी

ए सी = [1,2,3] सी = [0,4,5]

बी सी = [2,3,4] सी = [0,1,5]

ए सी ∩ बी सी = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

पहली अभिधारणा की तरह, दिए गए उदाहरण में डी मॉर्गन का दूसरा नियम भी लागू होता है।

सूत्रों का कहना है

एजी हैमिल्टन। गणितज्ञों के लिए तर्क। संपादकीय Paraninfo, मैड्रिड, 1981।

कार्लोस इवोरा कैस्टिलो। तर्क और सेट सिद्धांतनवंबर 2021 को एक्सेस किया गया