HomehtKi lwa De Morgan yo ye?

Ki lwa De Morgan yo ye?

Lojik se yon branch nan matematik, ak yon pati nan li se teyori seri. Lwa De Morgan yo se de postula sou entèraksyon ant ansanm. Lwa sa yo anrejistre antecedents nan Aristòt ak William nan Ockham. Augustus De Morgan te viv ant 1806 ak 1871 e li te premye moun ki mete lwa li te postule nan estrikti fòmèl lojik matematik la.

Operatè nan teyori seri

Anvan w ale nan postula De Morgan yo, ann gade kèk definisyon teyori seri.

Si gen nenpòt de ansanm eleman, ke nou pral rele A ak B, entèseksyon de seri sa yo se seri eleman komen nan tou de ansanm. Se senbòl ∩ ki endike entèseksyon de ansanm, epi se yon lòt seri nou ka rele C; C = A∩B, ak C se ansanm eleman ki parèt nan tou de gwoup A ak gwoup B. Menm jan an tou, inyon de ansanm A ak B se yon seri nouvo ki genyen tout eleman A ak B, epi li note avèk li. senbòl U. Ansanm C, inyon A ak B, C = AUB, se yon seri ki entegre ak tout eleman A ak B. Twazyèm definisyon nou dwe sonje se konpleman yon seri.: si nou gen yon sèten linivè eleman ak yon seri A nan linivè sa a, konpleman A a se ansanm eleman linivè sa a ki pa fè pati ansanm A. Ansanm konpleman A a endike kòm A C .

Twa operatè sa yo ant ansanm ka jeneralize nan operasyon an ant plizyè ansanm, se sa ki, nan entèseksyon an, sendika ak konpleman nan plizyè seri. Ann gade yon egzanp senp. Figi sa a montre dyagram Venn nan twa seri: zwazo yo, reprezante pa jako a, otrich la, kanna a ak pengwen an; èt vivan yo ki vole, reprezante pa jako a, kanna a, papiyon an ak pwason an vole, ak èt vivan yo ki naje, reprezante pa kanna a, pengwen an, pwason an vole ak balèn nan. Kanna a se seri entèseksyon twa seri yo: seri inyon zwazo ak bèt vivan ki vole se otrich, jako, papiyon, kanna, pengwen ak pwason vole. Ak konpleman nan èt vivan yo ki vole ak sa yo ki naje se seri a ki gen otrich la.

Dyagram Venn nan twa seri. Dyagram Venn nan twa seri.

Lwa De Morgan yo

Kounye a nou ka wè postulat lwa De Morgan yo. Premye postulat la di konpleman entèseksyon ansanm de ansanm A ak B egal a inyon ansanm konpleman A ak konpleman B. Sèvi ak operatè yo defini nan paragraf anvan an, yo ka ekri premye lwa De Morgan. jan sa a fason:

(A∩B) C = A C UB C

Dezyèm lwa De Morgan a postule ke konpleman seri inyon A ak B egal a entèseksyon seri konpleman A ak seri konpleman B, epi li note jan sa a:

(AUB) C = A C ∩ B C

Ann wè yon egzanp. Konsidere seri nonm antye ki soti nan 0 a 5. Sa a se deziye kòm [0,1,2,3,4,5]. Nan linivè sa a nou defini de ansanm A ak B. A se seri nimewo 1, 2 ak 3; A = [1,2,3]. YB se seri nimewo 2, 3 ak 4; B = [2,3,4]. Premye lwa De Morgan ta aplike jan sa a.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Premye lwa De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A CUB C _

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Rezilta a nan aplikasyon an nan operatè yo sou tou de bò nan egalite a montre ke premye lwa De Morgan a verifye. Ann wè aplikasyon egzanp lan nan dezyèm postula a.

Dezyèm lwa De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Menm jan ak premye postula a, nan egzanp yo bay dezyèm lwa De Morgan a aplike tou.

Sous

AG Hamilton. Lojik pou Matematisyen. Editorial Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Lojik ak teyori seri . Aksè nan Novanm 2021