Տրամաբանությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, և դրա մի մասը բազմությունների տեսությունն է։ Դե Մորգանի օրենքները երկու պոստուլատներ են բազմությունների միջև փոխազդեցության վերաբերյալ: Այս օրենքներն արձանագրում են նախադրյալներ Արիստոտելի և Ուիլյամ Օքհեմի մոտ: Օգոստոս Դե Մորգանն ապրել է 1806-ից 1871 թվականներին և առաջինն էր, ով իր կողմից առաջադրված օրենքները ներառեց մաթեմատիկական տրամաբանության պաշտոնական կառուցվածքում:
Օպերատորները բազմությունների տեսության մեջ
Նախքան Դե Մորգանի պոստուլատներին անցնելը, եկեք դիտարկենք բազմությունների տեսության որոշ սահմանումներ:
Եթե գոյություն ունեն տարրերի երկու խմբեր, որոնք մենք կանվանենք A և B, ապա այս երկու բազմությունների հատումը երկու բազմությունների համար ընդհանուր տարրերի բազմությունն է: Երկու բազմությունների խաչմերուկը նշվում է ∩ նշանով և մեկ այլ բազմություն է, որը մենք կարող ենք անվանել C; C = A∩B, իսկ C-ն այն տարրերի բազմությունն է, որոնք հայտնվում են և՛ A խմբում, և՛ B խմբում: Նմանապես, երկու A և B բազմությունների միավորումը նոր բազմություն է, որը պարունակում է A և B բոլոր տարրերը, և այն նշվում է. խորհրդանիշը U: C բազմությունը, A-ի և B-ի միությունը, C = AUB, բազմություն է, որը ինտեգրված է A-ի և B-ի բոլոր տարրերի հետ: Երրորդ սահմանումը, որը մենք պետք է հիշենք, բազմության լրացումն է: Եթե մենք ունենք տարրերի որոշակի տիեզերք և այս տիեզերքի A բազմություն, ապա A-ի լրացումը այդ տիեզերքի այն տարրերի բազմությունն է, որոնք չեն պատկանում A բազմությանը: A-ի լրացման բազմությունը նշվում է որպես A C :
Կոմպլեկտների միջև այս երեք օպերատորները կարող են ընդհանրացվել մի քանի բազմությունների միջև գործողությանը, այսինքն՝ մի քանի բազմությունների հատմանը, միավորմանը և լրացմանը: Եկեք նայենք մի պարզ օրինակի. Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս Վենի գծապատկերը երեք խմբերից՝ թռչուններ, որոնք ներկայացված են թութակով, ջայլամով, բադով և պինգվինով. կենդանի էակները, որոնք թռչում են, ներկայացված են թութակով, բադով, թիթեռով և թռչող ձուկով, և կենդանի էակները, որոնք լողում են՝ ներկայացված բադով, պինգվինով, թռչող ձուկով և կետով: Բադը երեք խմբերի խաչմերուկն է. թռչող թռչունների և կենդանի էակների միավորումը կազմված է ջայլամից, թութակից, թիթեռից, բադից, պինգվինից և թռչող ձկից: Իսկ թռչող ու լողացող կենդանի էակների լրացումն այն հավաքածուն է, որը պարունակում է ջայլամը։
Վենի երեք հավաքածուների դիագրամ.
Դե Մորգանի օրենքները
Այժմ մենք կարող ենք տեսնել Դե Մորգանի օրենքների պոստուլատները: Առաջին պոստուլատն ասում է, որ A և B բազմությունների բազմությունների հատման լրացումը հավասար է A և B-ի լրացման բազմությունների միությանը: Նախորդ պարբերությունում սահմանված օպերատորների միջոցով կարելի է գրել Դե Մորգանի առաջին օրենքը. ինչպես հետևյալ կերպ.
(A∩B) C = A C UB C
Դե Մորգանի երկրորդ օրենքը պնդում է, որ A-ի և B-ի միությունների բազմության լրացումը հավասար է A-ի լրացման բազմության հատմանը B-ի լրացման բազմության հետ, և այն նշվում է հետևյալ կերպ.
(AUB) C = A C ∩ B C
Տեսնենք մի օրինակ. Դիտարկենք 0-ից մինչև 5-ը ամբողջ թվերի բազմությունը: Սա նշվում է որպես [0,1,2,3,4,5]: Այս տիեզերքում մենք սահմանում ենք A և B երկու բազմություն: A-ն 1, 2 և 3 թվերի բազմությունն է. A = [1,2,3]: YB-ն 2, 3 և 4 թվերի բազմությունն է. B = [2,3,4]: Դե Մորգանի առաջին օրենքը կկիրառվեր հետևյալ կերպ.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Դե Մորգանի առաջին օրենքը. (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Հավասարության երկու կողմերում գործող օպերատորների կիրառման արդյունքը ցույց է տալիս, որ Դե Մորգանի առաջին օրենքը ստուգված է։ Եկեք տեսնենք օրինակի կիրառումը երկրորդ պոստուլատում:
Դե Մորգանի երկրորդ օրենքը՝ (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Ինչպես առաջին պոստուլատի դեպքում, այս օրինակում նույնպես կիրառվում է Դե Մորգանի երկրորդ օրենքը։
Աղբյուրներ
AG Hamilton. Տրամաբանություն մաթեմատիկոսների համար. Խմբագրական Paraninfo, Մադրիդ, 1981 թ.
Կառլոս Իվորա Կաստիլյո. Տրամաբանություն և բազմությունների տեսություն . Մուտք գործվել է 2021 թվականի նոյեմբերին
