HomeidApa hukum De Morgan?

Apa hukum De Morgan?

Logika adalah cabang matematika, dan bagian darinya adalah teori himpunan. Hukum De Morgan adalah dua postulat tentang interaksi antar himpunan. Undang-undang ini mencatat anteseden dalam Aristoteles dan William dari Ockham. Augustus De Morgan hidup antara tahun 1806 dan 1871 dan merupakan orang pertama yang memasukkan hukum yang dia dalilkan dalam struktur formal logika matematika.

Operator dalam teori himpunan

Sebelum beralih ke postulat De Morgan, mari kita lihat beberapa definisi teori himpunan.

Jika ada dua himpunan elemen, yang akan kita sebut A dan B, irisan kedua himpunan ini adalah himpunan elemen yang sama untuk kedua himpunan tersebut. Irisan dua himpunan dilambangkan dengan simbol ∩, dan merupakan himpunan lain yang dapat kita sebut C; C = A∩B, dan C adalah himpunan elemen yang muncul di grup A dan grup B. Demikian pula, gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan baru yang berisi semua elemen A dan B, dan dicatat dengan lambang U. Himpunan C, gabungan dari A dan B, C = AUB, adalah himpunan yang terintegrasi dengan semua anggota A dan B. Definisi ketiga yang harus kita ingat adalah komplemen dari suatu himpunan: jika kita memiliki semesta elemen tertentu dan himpunan A dari semesta ini, komplemen dari A adalah himpunan elemen dari semesta tersebut yang tidak termasuk himpunan A. Himpunan komplemen dari A dinotasikan dengan A C .

Ketiga operator antar himpunan ini dapat digeneralisasikan untuk operasi antara beberapa himpunan, yaitu perpotongan, penyatuan, dan komplemen dari beberapa himpunan. Mari kita lihat contoh sederhana. Gambar berikut menunjukkan diagram Venn dari tiga himpunan: burung, diwakili oleh burung beo, burung unta, bebek, dan pinguin; makhluk hidup yang terbang, diwakili oleh burung beo, bebek, kupu-kupu, dan ikan terbang, dan makhluk hidup yang berenang, diwakili oleh bebek, penguin, ikan terbang, dan paus. Bebek adalah himpunan perpotongan dari tiga himpunan: himpunan gabungan burung dan makhluk hidup yang terbang terdiri dari burung unta, burung beo, kupu-kupu, bebek, pinguin, dan ikan terbang. Dan pelengkap makhluk hidup yang terbang dan yang berenang adalah himpunan yang berisi burung unta.

Diagram Venn tiga himpunan. Diagram Venn tiga himpunan.

Hukum De Morgan

Sekarang kita bisa melihat postulat hukum De Morgan. Postulat pertama mengatakan bahwa komplemen dari irisan himpunan dari dua himpunan A dan B sama dengan gabungan himpunan dari komplemen A dan komplemen dari B. Menggunakan operator yang didefinisikan pada paragraf sebelumnya, hukum pertama De Morgan dapat ditulis sebagai Cara Berikut:

(A∩B) C = A C UB C

Hukum kedua De Morgan mendalilkan bahwa komplemen himpunan gabungan A dan B sama dengan perpotongan himpunan komplemen A dengan himpunan komplemen B, dan dicatat sebagai berikut:

(AUB) C = A C ∩ B C

Mari kita lihat contohnya. Pertimbangkan himpunan bilangan bulat dari 0 sampai 5. Ini dilambangkan sebagai [0,1,2,3,4,5]. Di alam semesta ini kita mendefinisikan dua himpunan A dan B. A adalah himpunan bilangan 1, 2 dan 3; A = [1,2,3]. YB adalah himpunan bilangan 2, 3 dan 4; B = [2,3,4]. Hukum pertama De Morgan akan berlaku sebagai berikut.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Hukum pertama De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Hasil penerapan operator pada kedua sisi persamaan menunjukkan bahwa hukum pertama De Morgan terbukti. Mari kita lihat penerapan contoh pada postulat kedua.

Hukum kedua De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Seperti postulat pertama, dalam contoh yang diberikan hukum kedua De Morgan juga berlaku.

Sumber

AG Hamilton. Logika untuk Matematikawan. Editorial Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logika dan teori himpunan . Diakses November 2021