Homekaრა არის დე მორგანის კანონები?

რა არის დე მორგანის კანონები?

ლოგიკა მათემატიკის ფილიალია და მისი ნაწილი სიმრავლეების თეორიაა. დე მორგანის კანონები არის ორი პოსტულატი ნაკრებებს შორის ურთიერთქმედების შესახებ. ეს კანონები აღწერს წინამორბედებს არისტოტელესა და უილიამ ოკჰემში. ავგუსტუს დე მორგანი ცხოვრობდა 1806-დან 1871 წლამდე და იყო პირველი, ვინც მის მიერ გამოთქმული კანონები მათემატიკური ლოგიკის ფორმალურ სტრუქტურაში შეიტანა.

ოპერატორები სიმრავლეების თეორიაში

სანამ დე მორგანის პოსტულატებზე გადავიდოდეთ, მოდით შევხედოთ სიმრავლეების თეორიის რამდენიმე განმარტებას.

თუ არსებობს ელემენტების რომელიმე ორი კომპლექტი, რომელსაც დავარქმევთ A და B, ამ ორი სიმრავლის კვეთა არის ელემენტების სიმრავლე, რომლებიც საერთოა ორივე სიმრავლისთვის. ორი სიმრავლის გადაკვეთა აღინიშნება სიმბოლოთი ∩ და არის კიდევ ერთი სიმრავლე, რომელსაც შეგვიძლია ვუწოდოთ C; C = A∩B, და C არის ელემენტების ერთობლიობა, რომლებიც ჩნდება როგორც A ჯგუფში, ასევე B ჯგუფში. ანალოგიურად, ორი სიმრავლის A და B კავშირი არის ახალი სიმრავლე, რომელიც შეიცავს A და B ყველა ელემენტს და აღნიშნულია სიმბოლო U. სიმრავლე C, A და B-ს კავშირი, C = AUB, არის სიმრავლე, რომელიც ინტეგრირებულია A და B-ის ყველა ელემენტთან. მესამე განმარტება, რომელიც უნდა გვახსოვდეს არის სიმრავლის კომპლიმენტი. : თუ გვაქვს ამ სამყაროს ელემენტების გარკვეული სამყარო და A სიმრავლე, A-ს კომპლიმენტი არის ამ სამყაროს ელემენტების სიმრავლე, რომლებიც არ მიეკუთვნება A სიმრავლეს. A-ს კომპლემენტური სიმრავლე აღინიშნება როგორც A C.

ეს სამი ოპერატორი ნაკრებებს შორის შეიძლება განზოგადდეს რამდენიმე სიმრავლეს შორის მოქმედებაზე, ანუ რამდენიმე სიმრავლის კვეთაზე, გაერთიანებაზე და კომპლმენტზე. მოდით შევხედოთ მარტივ მაგალითს. შემდეგი სურათი გვიჩვენებს ვენის დიაგრამას სამი კომპლექტისგან: ფრინველები, რომლებიც წარმოდგენილია თუთიყუში, სირაქლემა, იხვი და პინგვინი; ცოცხალი არსებები, რომლებიც დაფრინავენ, წარმოდგენილი თუთიყუში, იხვი, პეპელა და მფრინავი თევზი, და ცოცხალი არსებები, რომლებიც ბანაობენ, წარმოდგენილი იხვი, პინგვინი, მფრინავი თევზი და ვეშაპი. იხვი არის სამი ნაკრების გადაკვეთის ნაკრები: ფრინველებისა და ცოცხალი არსებების გაერთიანება, რომლებიც დაფრინავენ, შედგება სირაქლემას, თუთიყუშის, პეპელას, იხვის, პინგვინისა და მფრინავი თევზისგან. და ცოცხალი არსებების შემავსებელი, რომლებიც დაფრინავენ და ცურავდნენ, არის ნაკრები, რომელიც შეიცავს სირაქლემას.

სამი კომპლექტის ვენის დიაგრამა. სამი კომპლექტის ვენის დიაგრამა.

დე მორგანის კანონები

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ დე მორგანის კანონების პოსტულატები. პირველ პოსტულატში ნათქვამია, რომ A და B სიმრავლის ერთობლიობის გადაკვეთის კომპლიმენტი უდრის A და B კომპლემენტის სიმრავლის გაერთიანებას. წინა აბზაცში განსაზღვრული ოპერატორების გამოყენებით შეიძლება დაიწეროს დე მორგანის პირველი კანონი. როგორც შემდეგი გზა:

(A∩B) C = A C UB C

დე მორგანის მეორე კანონი ამტკიცებს, რომ A და B-ის ერთობლიობის კომპლიმენტი უდრის A-ს კომპლემენტური სიმრავლის გადაკვეთას B-ის კომპლემენტების სიმრავლესთან, და იგი აღინიშნება შემდეგნაირად:

(AUB) C = A C ∩ B C

ვნახოთ მაგალითი. განვიხილოთ მთელი რიცხვების სიმრავლე 0-დან 5-მდე. ეს აღინიშნება როგორც [0,1,2,3,4,5]. ამ სამყაროში ჩვენ განვსაზღვრავთ A და B სიმრავლეს. A არის 1, 2 და 3 რიცხვების სიმრავლე; A = [1,2,3]. YB არის 2, 3 და 4 რიცხვების სიმრავლე; B = [2,3,4]. დე მორგანის პირველი კანონი შემდეგნაირად გამოიყენებოდა.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

დე მორგანის პირველი კანონი: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

თანასწორობის ორივე მხარეს ოპერატორების გამოყენების შედეგი აჩვენებს, რომ დე მორგანის პირველი კანონი დამოწმებულია. ვნახოთ მაგალითის გამოყენება მეორე პოსტულატზე.

დე მორგანის მეორე კანონი: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

როგორც პირველ პოსტულატში, მოცემულ მაგალითში ასევე მოქმედებს დე მორგანის მეორე კანონი.

წყაროები

AG Hamilton. ლოგიკა მათემატიკოსებისთვის. სარედაქციო პარანიფო, მადრიდი, 1981 წ.

კარლოს ივორა კასტილიო. ლოგიკა და სიმრავლეების თეორია . წვდომა 2021 წლის ნოემბერში