HomekkДе Морган заңдары қандай?

Де Морган заңдары қандай?

Логика – математиканың бір саласы, ал оның бір бөлігі жиындар теориясы. Де Морган заңдары жиындар арасындағы өзара әрекеттесу туралы екі постулат болып табылады. Бұл заңдар Аристотель мен Уильям Окхамскийдегі алдыңғы оқиғаларды жазады. Август Де Морган 1806-1871 жылдар аралығында өмір сүрді және ол тұжырымдаған заңдарды математикалық логиканың формальды құрылымына бірінші болып енгізді.

Жиындар теориясындағы операторлар

Де Морганның постулаттарына көшпес бұрын жиындар теориясының кейбір анықтамаларын қарастырайық.

А және В деп атайтын элементтердің кез келген екі жиыны болса, осы екі жиынның қиылысы екі жиынға ортақ элементтер жиыны болып табылады. Екі жиынның қиылысуы ∩ символымен белгіленеді және біз С деп атауға болатын басқа жиын болып табылады; C = A∩B, және C — А тобында да, В тобында да көрінетін элементтер жиыны. Сол сияқты, A және B екі жиынының бірігуі А және В барлық элементтерін қамтитын жаңа жиын болып табылады және ол келесідей белгіленеді. символы U. C жиыны, A және B бірігуі, C = AUB, А және В элементтерінің барлығымен біріктірілген жиын. Біз есте сақтауымыз керек үшінші анықтама – жиынның толықтауышы. : егер бізде элементтердің белгілі бір әлемі және осы ғаламның А жиыны болса, А толықтаушысы сол ғаламның А жиынына жатпайтын элементтерінің жиыны болып табылады. А толықтауыш жиыны A C деп белгіленеді .

Жиындар арасындағы бұл үш операторды бірнеше жиындар арасындағы операцияға, яғни бірнеше жиындардың қиылысуына, бірігуіне және толықтыруына жалпылауға болады. Қарапайым мысалды қарастырайық. Келесі суретте үш жиынтық Венн диаграммасы көрсетілген: құстар, тотықұс, түйеқұс, үйрек және пингвин; тотықұс, үйрек, көбелек және ұшатын балықтар бейнеленген ұшатын тіршілік иелері және үйрек, пингвин, ұшатын балық және кит арқылы бейнеленген жүзетін тірі жандар. Үйрек үш топтың қиылысу жиынтығы болып табылады: құстар мен ұшатын тіршілік иелерінің бірігуі түйеқұс, тотықұс, көбелек, үйрек, пингвин және ұшатын балықтан тұрады. Ал ұшатын және жүзетін тірі жандардың толықтауы – түйеқұстың құрамындағы жиынтық.

Үш жиынның Венн диаграммасы. Үш жиынның Венн диаграммасы.

Де Морган заңдары

Енді біз Де Морган заңдарының постулаттарын көре аламыз. Бірінші постулат А және В екі жиынының жиын қиылысының толықтауышы А толықтауышы мен В толықтауышының жиынтық бірлестігіне тең екенін айтады. Алдыңғы абзацта анықталған операторларды пайдаланып, Де Морганның бірінші заңын жазуға болады. келесі жолмен:

(A∩B) C = A C UB C

Де Морганның екінші заңы А және В қосылыс жиынының толықтауы А толықтауыш жиынының В толықтауыш жиынымен қиылысуына тең деп тұжырымдайды және ол келесідей белгіленеді:

(AUB) C = A C ∩ B C

Мысал көрейік. 0-ден 5-ке дейінгі бүтін сандар жиынын қарастырайық. Бұл [0,1,2,3,4,5] деп белгіленеді. Бұл ғаламда біз екі A және B жиынын анықтаймыз. A – 1, 2 және 3 сандар жиыны; A = [1,2,3]. YB – 2, 3 және 4 сандарының жиыны; B = [2,3,4]. Де Морганның бірінші заңы келесідей қолданылады.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Де Морганның бірінші заңы: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Теңдіктің екі жағындағы операторларды қолдану нәтижесі Де Морганның бірінші заңының тексерілгенін көрсетеді. Мысалдың екінші постулатта қолданылуын көрейік.

Де Морганның екінші заңы: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Бірінші постулат сияқты, берілген мысалда Де Морганның екінші заңы да қолданылады.

Дереккөздер

AG Гамильтон. Математиктерге арналған логика. Редакциялық Paraninfo, Мадрид, 1981 ж.

Карлос Иворра Кастильо. Логика және жиындар теориясы . 2021 жылдың қарашасында қол жеткізілді