Homekmតើច្បាប់របស់ De Morgan ជាអ្វី?

តើច្បាប់របស់ De Morgan ជាអ្វី?

តក្កវិជ្ជាគឺជាផ្នែកមួយរបស់គណិតវិទ្យា ហើយផ្នែកមួយរបស់វាគឺទ្រឹស្តីកំណត់។ ច្បាប់របស់ De Morgan គឺជា postulates ពីរអំពីអន្តរកម្មរវាងសំណុំ។ ច្បាប់ទាំងនេះកត់ត្រាទុកមុននៅអារីស្តូត និងវីលៀម អូកខេម។ Augustus De Morgan រស់នៅចន្លោះឆ្នាំ 1806 និង 1871 ហើយជាអ្នកដំបូងដែលរួមបញ្ចូលច្បាប់ដែលគាត់បានប្រកាសនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធផ្លូវការនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។

ប្រតិបត្តិករនៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំ

មុនពេលបន្តទៅ postulates របស់ De Morgan សូមក្រឡេកមើលនិយមន័យមួយចំនួននៃទ្រឹស្តីសំណុំ។

ប្រសិនបើមានសំណុំនៃធាតុពីរដែលយើងនឹងហៅថា A និង B ចំនុចប្រសព្វ នៃ សំណុំទាំងពីរនេះ គឺជា សំណុំនៃធាតុទូទៅសម្រាប់សំណុំទាំងពីរ។ ចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំពីរត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ∩ ហើយជាសំណុំមួយទៀតដែលយើងអាចហៅថា C; C = A∩B, និង C គឺជាសំណុំនៃធាតុដែលលេចឡើងក្នុងក្រុម A និងក្រុម B. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ការ រួបរួម នៃសំណុំពីរ A និង B គឺជាសំណុំថ្មីដែលមានធាតុទាំងអស់នៃ A និង B ហើយវាត្រូវបានសម្គាល់ដោយ និមិត្តសញ្ញា U. សំណុំ C, union នៃ A និង B, C = AUB គឺជាសំណុំដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាមួយធាតុទាំងអស់នៃ A និង B ។ និយមន័យទីបីដែលយើងត្រូវចងចាំគឺការ បំពេញបន្ថែមនៃសំណុំមួយ។៖ ប្រសិនបើយើងមានចក្រវាឡជាក់លាក់នៃធាតុ និងសំណុំ A នៃចក្រវាឡនេះ ការបំពេញបន្ថែមនៃ A គឺជាសំណុំនៃធាតុនៃចក្រវាឡនោះ ដែលមិនមែនជារបស់សំណុំ A ។ សំណុំបំពេញបន្ថែមនៃ A ត្រូវបានតំណាងថាជា A C ។

ប្រតិបត្តិករទាំងបីនេះរវាងសំណុំអាចត្រូវបានទូទៅទៅប្រតិបត្តិការរវាងសំណុំជាច្រើន នោះគឺទៅចំនុចប្រសព្វ សហជីព និងការបំពេញបន្ថែមនៃសំណុំជាច្រើន។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយ។ រូបខាងក្រោមបង្ហាញពីដ្យាក្រាម Venn នៃបីឈុត៖ សត្វស្លាប តំណាងដោយសេក សត្វអុក សត្វទា និងសត្វភេនឃ្វីន។ សត្វពាហនៈដែលហើរ តំណាងដោយសត្វសេក ទា មេអំបៅ និងត្រីហើរ និងសត្វមានជីវិតដែលហែល តំណាងដោយទា ភេនឃ្វីន ត្រីហើរ និងត្រីបាឡែន។ ទាគឺជាសំណុំប្រសព្វនៃបីឈុត៖ សំណុំសហជីពនៃសត្វស្លាប និងសត្វដែលហើរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសត្វអូទ្រីស សេក មេអំបៅ ទា ទា ភេនឃ្វីន និងត្រីហោះ។ ហើយការបំពេញបន្ថែមនៃសត្វមានជីវិតដែលហើរ និងអ្នកដែលហែលគឺជាឈុតដែលមានសត្វអូទ្រីស។

ដ្យាក្រាម Venn នៃបីឈុត។ ដ្យាក្រាម Venn នៃបីឈុត។

ច្បាប់របស់ De Morgan

ឥឡូវនេះយើងអាចមើលឃើញ postulates នៃច្បាប់របស់ De Morgan ។ postulate ទី 1 និយាយថាការបំពេញបន្ថែមនៃចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំពីរ A និង B គឺស្មើនឹងសំណុំនៃការបំពេញបន្ថែមនៃ A និង ការបំពេញ B ។ ដោយប្រើប្រតិបត្តិករដែលបានកំណត់ក្នុងកថាខណ្ឌមុន ច្បាប់ទីមួយរបស់ De Morgan អាចត្រូវបានសរសេរ តាមវិធីខាងក្រោម៖

(A∩B) C = A C UB C

ច្បាប់ទីពីររបស់ De Morgan កំណត់ថាការបំពេញបន្ថែមនៃសំណុំ A និង B គឺស្មើនឹងចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំបំពេញបន្ថែមនៃ A ជាមួយនឹងសំណុំបំពេញ B ហើយវាត្រូវបានកត់សម្គាល់ដូចខាងក្រោម:

(AUB) C = A C ∩ B C

តោះមើលឧទាហរណ៍មួយ។ ពិចារណាសំណុំនៃចំនួនគត់ពី 0 ដល់ 5 ។ វាត្រូវបានតំណាងថាជា [0,1,2,3,4,5]។ នៅក្នុងសកលលោកនេះ យើងកំណត់ពីរសំណុំ A និង B. A គឺជាសំណុំនៃលេខ 1, 2 និង 3; ក = [1,2,3]។ YB គឺជាសំណុំនៃលេខ 2, 3 និង 4; ខ = [2,3,4] ។ ច្បាប់ទីមួយរបស់ De Morgan នឹងអនុវត្តដូចខាងក្រោម។

A = [1,2,3]; ខ = [2,3,4]

ច្បាប់ទីមួយរបស់ De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) គ

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

លទ្ធផលនៃការអនុវត្តប្រតិបត្តិករទាំងសងខាងនៃសមភាពបង្ហាញថាច្បាប់ទីមួយរបស់ De Morgan ត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់។ ចូរយើងមើលការអនុវត្តនៃឧទាហរណ៍ទៅ postulate ទីពីរ។

ច្បាប់ទីពីររបស់ De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) គ

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

ដូចទៅនឹង postulate ទីមួយ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ច្បាប់ទីពីររបស់ De Morgan ក៏អនុវត្តផងដែរ។

ប្រភព

AG Hamilton ។ តក្កវិជ្ជាសម្រាប់គណិតវិទូ។ វិចារណកថា Paraninfo, Madrid, 1981 ។

Carlos Ivorra Castillo ។ តក្កវិជ្ជា និងទ្រឹស្តីកំណត់បានចូលប្រើ ខែវិច្ឆិកា ឆ្នាំ 2021