ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಅವರ ಕಾನೂನುಗಳು ಯಾವುವು?

ತರ್ಕವು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಒಂದು ಶಾಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಭಾಗವು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾಗಿದೆ. ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್‌ನ ಕಾನೂನುಗಳು ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಎರಡು ನಿಲುವುಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಕಾನೂನುಗಳು ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ ಮತ್ತು ಓಕ್‌ಹ್ಯಾಮ್‌ನ ವಿಲಿಯಂನಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಾಪರಗಳನ್ನು ದಾಖಲಿಸುತ್ತವೆ. ಅಗಸ್ಟಸ್ ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ 1806 ಮತ್ತು 1871 ರ ನಡುವೆ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ತರ್ಕದ ಔಪಚಾರಿಕ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ಅವರು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು.

ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಾಹಕರು

ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಅವರ ನಿಲುವುಗಳಿಗೆ ತೆರಳುವ ಮೊದಲು, ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸೆಟ್ ಅಂಶಗಳಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು A ಮತ್ತು B ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ , ಈ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವು ಎರಡೂ ಸೆಟ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದಕವನ್ನು ∩ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಾವು C ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದಾದ ಮತ್ತೊಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ; C = A∩B, ಮತ್ತು C ಎನ್ನುವುದು A ಮತ್ತು ಗುಂಪು B ಎರಡರಲ್ಲೂ ಕಂಡುಬರುವ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು A ಮತ್ತು B ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಹೊಸ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಚಿಹ್ನೆ U. C ಸೆಟ್, A ಮತ್ತು B ನ ಒಕ್ಕೂಟ, C = AUB, A ಮತ್ತು B ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾದ ಮೂರನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ : ನಾವು ಮೂಲವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡವನ್ನು ಮತ್ತು ಈ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, A ಯ ಪೂರಕವು ಆ ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಅಂಶಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದ್ದು ಅದು A ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ. A ಯ ಪೂರಕ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು A C ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ .

ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಈ ಮೂರು ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹಲವಾರು ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಛೇದಕ, ಒಕ್ಕೂಟ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪೂರಕ. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಮೂರು ಸೆಟ್‌ಗಳ ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ: ಗಿಳಿ, ಆಸ್ಟ್ರಿಚ್, ಬಾತುಕೋಳಿ ಮತ್ತು ಪೆಂಗ್ವಿನ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಪಕ್ಷಿಗಳು; ಹಾರುವ ಜೀವಿಗಳು, ಗಿಳಿ, ಬಾತುಕೋಳಿ, ಚಿಟ್ಟೆ ಮತ್ತು ಹಾರುವ ಮೀನುಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈಜುವ ಜೀವಿಗಳು ಬಾತುಕೋಳಿ, ಪೆಂಗ್ವಿನ್, ಹಾರುವ ಮೀನು ಮತ್ತು ತಿಮಿಂಗಿಲಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತವೆ. ಬಾತುಕೋಳಿಯು ಮೂರು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಛೇದನದ ಗುಂಪಾಗಿದೆ: ಹಾರುವ ಪಕ್ಷಿಗಳು ಮತ್ತು ಜೀವಿಗಳ ಒಕ್ಕೂಟವು ಆಸ್ಟ್ರಿಚ್, ಗಿಳಿ, ಚಿಟ್ಟೆ, ಬಾತುಕೋಳಿ, ಪೆಂಗ್ವಿನ್ ಮತ್ತು ಹಾರುವ ಮೀನುಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಮತ್ತು ಹಾರುವ ಮತ್ತು ಈಜುವ ಜೀವಿಗಳ ಪೂರಕವು ಆಸ್ಟ್ರಿಚ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.

ಮೂರು ಸೆಟ್‌ಗಳ ವೆನ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರ.

ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಕಾನೂನುಗಳು

ಈಗ ನಾವು ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಕಾನೂನುಗಳ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು. A ಮತ್ತು B ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸೆಟ್ ಛೇದನದ ಪೂರಕವು A ಮತ್ತು B ಯ ಪೂರಕದ ಸೆಟ್ ಯೂನಿಯನ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಮೊದಲ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್‌ನ ಮೊದಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ:

(A∩B) C = A C UB C

ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವು A ಮತ್ತು B ಯ ಯೂನಿಯನ್ ಸೆಟ್‌ನ ಪೂರಕವು B ಯ ಪೂರಕ ಗುಂಪಿನೊಂದಿಗೆ A ಯ ಪೂರಕ ಸೆಟ್‌ನ ಛೇದಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ:

(AUB) C = A C ∩ B C

ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. 0 ರಿಂದ 5 ರವರೆಗಿನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇದನ್ನು [0,1,2,3,4,5] ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಶ್ವದಲ್ಲಿ ನಾವು A ಮತ್ತು B ಎಂಬ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ. A ಎಂಬುದು 1, 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಎ = [1,2,3]. YB ಎಂಬುದು 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ; ಬಿ = [2,3,4]. ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ ಅವರ ಮೊದಲ ಕಾನೂನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಎ = [1,2,3]; ಬಿ = [2,3,4]

ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ನ ಮೊದಲ ನಿಯಮ: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) ಸಿ

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

ಎ ಸಿ ಯುಬಿ ಸಿ

ಎ ಸಿ = [1,2,3] ಸಿ = [0,4,5]

ಬಿ ಸಿ = [2,3,4] ಸಿ = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಾಹಕರ ಅನ್ವಯದ ಫಲಿತಾಂಶವು ಡಿ ಮೋರ್ಗನ್ ಅವರ ಮೊದಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಪೋಸ್ಟ್‌ಲೇಟ್‌ಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯ ಅನ್ವಯವನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮ: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) ಸಿ

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

ಎ ಸಿ ∩ ಬಿ ಸಿ

ಎ ಸಿ = [1,2,3] ಸಿ = [0,4,5]

ಬಿ ಸಿ = [2,3,4] ಸಿ = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

ಮೊದಲ ಪೋಸ್ಟುಲೇಟ್‌ನಂತೆ, ನೀಡಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಡಿ ಮೋರ್ಗಾನ್‌ನ ಎರಡನೇ ನಿಯಮವೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೂಲಗಳು

ಎಜಿ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್. ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತರ್ಕ. ಸಂಪಾದಕೀಯ ಪ್ಯಾರಾನಿನ್ಫೋ, ಮ್ಯಾಡ್ರಿಡ್, 1981.

ಕಾರ್ಲೋಸ್ ಐವೊರಾ ಕ್ಯಾಸ್ಟಿಲ್ಲೊ. ತರ್ಕ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ . ನವೆಂಬರ್ 2021 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ