HomekyДе Моргандын мыйзамдары кандай?

Де Моргандын мыйзамдары кандай?

Логика математиканын бир тармагы жана анын бир бөлүгүн көптүктөр теориясы түзөт. Де Моргандын мыйзамдары көптүктөрдүн ортосундагы өз ара аракеттенүү жөнүндөгү эки постулаттар. Бул мыйзамдар Аристотель менен Уильям Оккамдагы антецеденттерди жазат. Август Де Морган 1806-1871-жылдар аралыгында жашап, математикалык логиканын формалдуу структурасына өзү сунуш кылган мыйзамдарды биринчилерден болуп киргизген.

Көптүктөр теориясындагы операторлор

Де Моргандын постулаттарына өтүүдөн мурун, көптүктөр теориясынын айрым аныктамаларын карап көрөлү.

Эгерде биз А жана В деп атай турган элементтердин кандайдыр бир эки топтому бар болсо, бул эки топтомдун кесилиши эки топтомго тең жалпы элементтердин жыйындысы болуп саналат. Эки топтомдун кесилиши ∩ символу менен белгиленет жана биз С деп атай турган дагы бир көптүк; C = A∩B, жана C – А тобунда да, В тобунда да пайда болгон элементтердин жыйындысы. Ошо сыяктуу эле, А жана В эки топтомдорунун биригүүсү А жана Внын бардык элементтерин камтыган жаңы көптүк болуп саналат жана ал менен белгиленет. символу U. С көптүгү, А жана В биригүүсү, C = AUB, А жана В элементтеринин бардык элементтери менен интегралдашкан көптүк. Үчүнчү аныктама – бул көптүктү толуктоосу. : эгерде бизде белгилүү бир элементтер ааламы жана бул ааламдын А көптүгү бар болсо, анда А толуктоочусу ошол ааламдын А көптүгүнө кирбеген элементтеринин жыйындысы болуп саналат. А толуктоочулар жыйындысы А С деп белгиленет .

Көптүктөр ортосундагы бул үч операторду бир нече көптүктөрдүн ортосундагы операцияга, башкача айтканда, бир нече көптүктүн кесилишине, биригишине жана толуктоосуна жалпылоого болот. Жөнөкөй бир мисалды карап көрөлү. Төмөнкү сүрөттө үч топтомдун Венн диаграммасы көрсөтүлгөн: тоту куш, төө куш, өрдөк жана пингвин менен берилген канаттуулар; тоту куш, өрдөк, көпөлөк жана учуучу балык менен чагылдырылган учуучу жандыктар жана өрдөк, пингвин, учкан балык жана кит менен көрсөтүлгөн сүзүүчү жандыктар. Өрдөк үч топтомдун кесилишкен жыйындысы болуп саналат: канаттуулардын жана учуучу тирүү жандыктардын бирикмеси төө куштан, тоту куштан, көпөлөктөн, өрдөктөн, пингвинден жана учкан балыктан турат. Ал эми учкан жана сүзгөн жандыктардын толуктоочусу төө кушту камтыган топтом.

Үч топтомдун Венн диаграммасы. Үч топтомдун Венн диаграммасы.

Де Морган мыйзамдары

Эми биз Де Моргандын мыйзамдарынын постулаттарын көрө алабыз. Биринчи постулат эки А жана В көптүктөрүнүн жыйындысынын кесилишинин толуктоосу А жана В толуктоочунун жыйындыларынын биригишине барабар экенин айтат. Мурунку абзацта аныкталган операторлорду колдонуп, Де Моргандын биринчи мыйзамын жазууга болот. төмөнкү жол менен:

(A∩B) C = A C UB C

Де Моргандын экинчи мыйзамы А жана В бирикмесинин толуктоосу А толуктоочу көптүгү менен В толуктоочу көптүгүнүн кесилишине барабар экенин постулат кылат жана ал төмөнкүчө белгиленет:

(АУБ) C = A C ∩ B C

Келгиле, бир мисал карап көрөлү. 0дөн 5ке чейинки бүтүн сандар жыйындысын карап көрөлү. Бул [0,1,2,3,4,5] деп белгиленет. Бул ааламда биз эки А жана В топтомун аныктайбыз. A 1, 2 жана 3 сандарынын жыйындысы; A = [1,2,3]. YB – 2, 3 жана 4 сандардын жыйындысы; B = [2,3,4]. Де Моргандын биринчи мыйзамы төмөнкүдөй колдонулат.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Де Моргандын биринчи мыйзамы: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Теңдиктин эки жагындагы операторлорду колдонуунун натыйжасы Де Моргандын биринчи мыйзамы текшерилгенин көрсөтөт. Келгиле, мисалдын экинчи постулатка колдонулушун карап көрөлү.

Де Моргандын экинчи мыйзамы: (АУБ) C = A C ∩ B C

(АУБ) С

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Биринчи постулаттагыдай эле, берилген мисалда Де Моргандын экинчи мыйзамы да колдонулат.

Булактар

AG Hamilton. Математиктер үчүн логика. Редакция Paraninfo, Мадрид, 1981.

Карлос Иворра Кастильо. Логика жана көптүктөр теориясы . 2021-жылдын ноябрында жеткиликтүү