Homeloກົດໝາຍຂອງ De Morgan ແມ່ນຫຍັງ?

ກົດໝາຍຂອງ De Morgan ແມ່ນຫຍັງ?

Logic ແມ່ນສາຂາຂອງຄະນິດສາດ, ແລະສ່ວນຫນຶ່ງຂອງມັນແມ່ນທິດສະດີກໍານົດ. ກົດຫມາຍຂອງ De Morgan ແມ່ນສອງ postulates ກ່ຽວກັບການໂຕ້ຕອບລະຫວ່າງຊຸດ. ກົດ​ໝາຍ​ເຫຼົ່າ​ນີ້​ໄດ້​ບັນ​ທຶກ​ບັນ​ທຶກ​ໄວ້​ກ່ອນ​ໃນ​ອາ​ຣິ​ສ​ໂຕ​ເ​ລ ແລະ​ວິນ​ລຽມ​ແຫ່ງ​ໂອກ​ແຮມ. Augustus De Morgan ມີຊີວິດຢູ່ລະຫວ່າງ 1806 ແລະ 1871 ແລະເປັນຜູ້ທໍາອິດທີ່ປະກອບມີກົດຫມາຍທີ່ລາວປະກາດໄວ້ໃນໂຄງສ້າງທີ່ເປັນທາງການຂອງເຫດຜົນທາງຄະນິດສາດ.

ຜູ້ປະຕິບັດງານໃນທິດສະດີທີ່ກໍານົດໄວ້

ກ່ອນທີ່ຈະກ້າວໄປສູ່ postulates ຂອງ De Morgan, ໃຫ້ພວກເຮົາເບິ່ງບາງຄໍານິຍາມຂອງທິດສະດີທີ່ກໍານົດໄວ້.

ຖ້າມີສອງຊຸດຂອງອົງປະກອບ, ທີ່ພວກເຮົາຈະເອີ້ນວ່າ A ແລະ B, ຈຸດຕັດ ຂອງ ສອງ ຊຸດ ນີ້ແມ່ນຊຸດຂອງອົງປະກອບທົ່ວໄປຂອງທັງສອງຊຸດ. ຈຸດຕັດຂອງສອງຊຸດແມ່ນສະແດງດ້ວຍສັນຍາລັກ ∩, ແລະເປັນອີກຊຸດໜຶ່ງທີ່ເຮົາສາມາດເອີ້ນວ່າ C; C = A∩B, ແລະ C ແມ່ນຊຸດຂອງອົງປະກອບທີ່ປາກົດຢູ່ໃນກຸ່ມ A ແລະກຸ່ມ B. ເຊັ່ນດຽວກັນ, ສະຫະພັນ ຂອງສອງຊຸດ A ແລະ B ແມ່ນຊຸດໃຫມ່ທີ່ມີອົງປະກອບທັງຫມົດຂອງ A ແລະ B, ແລະມັນຖືກສັງເກດເຫັນດ້ວຍ ສັນຍາລັກ U. ຊຸດ C, union ຂອງ A ແລະ B, C = AUB, ແມ່ນຊຸດທີ່ປະສົມປະສານກັບອົງປະກອບທັງຫມົດຂອງ A ແລະ B. ຄໍານິຍາມທີສາມທີ່ພວກເຮົາຕ້ອງຈື່ໄວ້ແມ່ນການ ເສີມຂອງຊຸດ.: ຖ້າພວກເຮົາມີຈັກກະວານທີ່ແນ່ນອນຂອງອົງປະກອບແລະຊຸດ A ຂອງຈັກກະວານນີ້, ການເສີມຂອງ A ແມ່ນຊຸດຂອງອົງປະກອບຂອງຈັກກະວານທີ່ບໍ່ໄດ້ຂຶ້ນກັບຊຸດ A. ຊຸດເສີມຂອງ A ແມ່ນຫມາຍເຖິງ A C.

ເຫຼົ່ານີ້ສາມຕົວປະຕິບັດການລະຫວ່າງຊຸດສາມາດໂດຍທົ່ວໄປກັບການດໍາເນີນງານລະຫວ່າງຫຼາຍຊຸດ, ນັ້ນແມ່ນ, ການຕັດກັນ, ສະຫະພັນແລະການເສີມຂອງຫຼາຍໆຊຸດ. ໃຫ້​ເຮົາ​ມາ​ເບິ່ງ​ຕົວຢ່າງ​ງ່າຍໆ. ຕົວເລກຕໍ່ໄປນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນແຜນວາດ Venn ຂອງສາມຊຸດ: ນົກ, ເປັນຕົວແທນໂດຍ parrot, ostrich, ເປັດແລະ penguin; ສິ່ງມີຊີວິດທີ່ບິນ, ເປັນຕົວແທນໂດຍ parrot, ເປັດ, butterfly ແລະປາບິນ, ແລະສິ່ງທີ່ມີຊີວິດທີ່ລອຍ, ເປັນຕົວແທນໂດຍເປັດ, penguin, ປາບິນແລະປາວານ. ເປັດແມ່ນຊຸດທີ່ຕັດກັນຂອງສາມຊຸດຄື: ຊຸດຂອງນົກ ແລະສິ່ງທີ່ມີຊີວິດທີ່ບິນໄດ້ປະກອບດ້ວຍນົກກະຈອກເທດ, ນົກອິນຊີ, ຜີເສື້ອ, ເປັດ, ເປັດ, ແລະປາບິນ. ແລະການເສີມຂອງສິ່ງທີ່ມີຊີວິດທີ່ບິນແລະຜູ້ທີ່ລອຍແມ່ນຊຸດທີ່ປະກອບດ້ວຍນົກອິນຊີ.

Venn ແຜນວາດຂອງສາມຊຸດ. Venn ແຜນວາດຂອງສາມຊຸດ.

ກົດໝາຍຂອງ De Morgan

ໃນປັດຈຸບັນພວກເຮົາສາມາດເຫັນ postulates ຂອງກົດຫມາຍຂອງ De Morgan. postulate ທໍາອິດກ່າວວ່າການປະກອບຂອງຈຸດຕັດກັນທີ່ກໍານົດໄວ້ຂອງສອງຊຸດ A ແລະ B ແມ່ນເທົ່າກັບການລວມທີ່ກໍານົດໄວ້ຂອງສ່ວນປະສົມຂອງ A ແລະສ່ວນປະສົມຂອງ B. ການນໍາໃຊ້ຕົວປະຕິບັດການທີ່ກໍານົດໄວ້ໃນວັກທີ່ຜ່ານມາ, ກົດຫມາຍທໍາອິດຂອງ De Morgan ສາມາດຂຽນໄດ້. ດັ່ງ​ຕໍ່​ໄປ​ນີ້​:

(A∩B) C = A C UB C

ກົດຫມາຍທີສອງຂອງ De Morgan postulates ວ່າການປະກອບຂອງສະຫະພັນຂອງ A ແລະ B ແມ່ນເທົ່າກັບຈຸດຕັດກັນຂອງຊຸດເສີມຂອງ A ກັບຊຸດເສີມຂອງ B, ແລະມັນຖືກສັງເກດເຫັນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

(AUB) C = A C ∩ B C

ໃຫ້ເບິ່ງຕົວຢ່າງ. ພິຈາລະນາຊຸດຂອງຈໍານວນນັບຈາກ 0 ຫາ 5. ອັນນີ້ແມ່ນໝາຍເຖິງ [0,1,2,3,4,5]. ໃນຈັກກະວານນີ້ພວກເຮົາກໍານົດສອງຊຸດ A ແລະ B. A ແມ່ນຊຸດຂອງຕົວເລກ 1, 2 ແລະ 3; A = [1,2,3]. YB ແມ່ນຊຸດຂອງຕົວເລກ 2, 3 ແລະ 4; B = [2,3,4]. ກົດໝາຍສະບັບທຳອິດຂອງ De Morgan ຈະນຳໃຊ້ດັ່ງນີ້.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

ກົດໝາຍທໍາອິດຂອງ De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) ຄ

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

ຜົນໄດ້ຮັບຂອງຄໍາຮ້ອງສະຫມັກຂອງຜູ້ປະຕິບັດງານທັງສອງດ້ານຂອງຄວາມສະເຫມີພາບສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າກົດຫມາຍທໍາອິດຂອງ De Morgan ໄດ້ຖືກກວດສອບ. ໃຫ້ພວກເຮົາເບິ່ງການນໍາໃຊ້ຕົວຢ່າງຂອງ postulate ທີສອງ.

ກົດຫມາຍທີສອງຂອງ De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) ຄ

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

ເຊັ່ນດຽວກັນກັບ postulate ທໍາອິດ, ໃນຕົວຢ່າງທີ່ລະບຸໄວ້ກົດຫມາຍທີສອງຂອງ De Morgan ຍັງໃຊ້.

ແຫຼ່ງຂໍ້ມູນ

AG Hamilton. ເຫດຜົນສໍາລັບນັກຄະນິດສາດ. ບັນນາທິການ Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. ເຫດຜົນ ແລະທິດສະດີກໍານົດ . ເຂົ້າເຖິງເດືອນພະຈິກ 2021