HomemkКои се законите на Де Морган?

Кои се законите на Де Морган?

Логиката е гранка на математиката, а дел од неа е теоријата на множества. Законите на Де Морган се два постулата за интеракцијата помеѓу множествата. Овие закони запишуваат претходници кај Аристотел и Вилијам Окамски. Август Де Морган живеел помеѓу 1806 и 1871 година и бил првиот што ги вклучил законите што ги постулирал во формалната структура на математичката логика.

Оператори во теоријата на множества

Пред да преминеме на постулатите на Де Морган, да погледнеме некои дефиниции за теоријата на множества.

Ако има било кои две групи на елементи, кои ќе ги наречеме А и Б, пресекот на овие две множества е збир на елементи заеднички за двете множества. Пресекот на две множества се означува со симболот ∩, и е друго множество што можеме да го наречеме C; C = A∩B, а C е множество елементи што се појавуваат и во групата А и во групата Б. Слично на тоа, соединувањето на две множества А и Б е ново множество кое ги содржи сите елементи од А и Б, и се забележува со симболот U. Множеството C, унија на A и B, C = AUB, е множество кое е интегрирано со сите елементи на A и B. Третата дефиниција што мора да ја запомниме е комплемент на множество: ако имаме одреден универзум на елементи и множество А од овој универзум, комплементот на А е множество елементи на тој универзум кои не припаѓаат на множеството A. Комплементарното множество на А се означува како A C .

Овие три оператори помеѓу множества може да се генерализираат на операцијата помеѓу неколку множества, односно на пресекот, унијата и комплементот на неколку множества. Ајде да погледнеме едноставен пример. На следната слика е прикажан Венов дијаграм од три групи: птиците, претставени со папагалот, нојот, патката и пингвинот; живите суштества кои летаат, претставени со папагалот, патката, пеперутката и летечката риба, и живите суштества кои пливаат, претставени со патката, пингвинот, летечката риба и китот. Патката е вкрстена група од трите групи: збирот на птици и живи суштества што летаат го сочинуваат нојот, папагалот, пеперутката, патката, пингвинот и летечката риба. А надополнувањето на живите суштества што летаат и оние што пливаат е комплетот што го содржи нојот.

Венов дијаграм од три сета. Венов дијаграм од три сета.

Законите на Де Морган

Сега можеме да ги видиме постулатите на законите на Де Морган. Првиот постулат вели дека комплементот на пресекот на множеството од две множества A и B е еднаков на множеството унија на комплементот на A и комплементот на B. Користејќи ги операторите дефинирани во претходниот став, првиот закон на Де Морган може да се напише како следниов начин:

(A∩B) C = A C UB C

Вториот закон на Де Морган постулира дека комплементот на синдикалното множество А и Б е еднакво на пресекот на комплементарното множество А со комплементарното множество Б, и тоа е забележано на следниов начин:

(AUB) C = A C ∩ B C

Ајде да видиме пример. Размислете за множеството цели броеви од 0 до 5. Ова е означено како [0,1,2,3,4,5]. Во овој универзум дефинираме две множества А и Б. А е множество од броевите 1, 2 и 3; A = [1,2,3]. YB е множество од броеви 2, 3 и 4; B = [2,3,4]. Првиот закон на Де Морган ќе се применува на следниов начин.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Првиот закон на Де Морган: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) В

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Резултатот од примената на операторите од двете страни на еднаквоста покажува дека првиот закон на Де Морган е потврден. Да ја видиме примената на примерот на вториот постулат.

Вториот закон на Де Морган: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) В

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Како и со првиот постулат, во дадениот пример важи и вториот закон на Де Морган.

Извори

АГ Хамилтон. Логика за математичари. Уреднички Паранинфо, Мадрид, 1981 г.

Карлос Ивора Кастиљо. Логика и теорија на множества . Пристапено во ноември 2021 г