Homemlഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

ഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

ലോജിക് എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ്, അതിന്റെ ഒരു ഭാഗം സെറ്റ് തിയറിയാണ്. ഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങൾ സെറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള പ്രതിപ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ട് പോസ്റ്റുലേറ്റുകളാണ്. ഈ നിയമങ്ങൾ അരിസ്റ്റോട്ടിലിന്റെയും ഓക്കാമിലെ വില്യംസിന്റെയും മുൻഗാമികൾ രേഖപ്പെടുത്തുന്നു. അഗസ്റ്റസ് ഡി മോർഗൻ 1806 നും 1871 നും ഇടയിൽ ജീവിച്ചിരുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്ര യുക്തിയുടെ ഔപചാരിക ഘടനയിൽ അദ്ദേഹം സ്ഥാപിച്ച നിയമങ്ങൾ ആദ്യമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയത് അദ്ദേഹമാണ്.

സെറ്റ് തിയറിയിലെ ഓപ്പറേറ്റർമാർ

ഡി മോർഗന്റെ പോസ്റ്റുലേറ്റുകളിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, നമുക്ക് സെറ്റ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ചില നിർവചനങ്ങൾ നോക്കാം.

രണ്ട് സെറ്റ് മൂലകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ നമ്മൾ എ, ബി എന്ന് വിളിക്കും, രണ്ട് സെറ്റുകളുടെയും കവലകൾ രണ്ട് സെറ്റുകൾക്കും പൊതുവായ മൂലകങ്ങളുടെ ഗണമാണ്. രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ കവലയെ ∩ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, നമുക്ക് C എന്ന് വിളിക്കാവുന്ന മറ്റൊരു സെറ്റാണിത്; C = A∩B, കൂടാതെ C എന്നത് A ഗ്രൂപ്പിലും B ഗ്രൂപ്പിലും ദൃശ്യമാകുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ഗണമാണ്. അതുപോലെ, A, B എന്നീ രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ യൂണിയൻ A, B എന്നിവയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു പുതിയ ഗണമാണ്. ചിഹ്നം U. സി സെറ്റ്, എ, ബി എന്നിവയുടെ യൂണിയൻ, സി = എയുബി, എ, ബി എന്നിവയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുമായി സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സെറ്റാണ്. നമ്മൾ ഓർക്കേണ്ട മൂന്നാമത്തെ നിർവചനം ഒരു സെറ്റിന്റെ പൂരകമാണ് : നമുക്ക് മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത പ്രപഞ്ചവും ഈ പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഒരു ഗണവും ഉണ്ടെങ്കിൽ, A യുടെ പൂരകം ആ പ്രപഞ്ചത്തിലെ മൂലകങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്, അത് A ഗണത്തിൽ പെടുന്നില്ല. A യുടെ പൂരക ഗണത്തെ A C എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു .

സെറ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ഈ മൂന്ന് ഓപ്പറേറ്റർമാരെ നിരവധി സെറ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക്, അതായത്, നിരവധി സെറ്റുകളുടെ കവല, യൂണിയൻ, പൂരകങ്ങൾ എന്നിവയിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം മൂന്ന് സെറ്റുകളുടെ വെൻ ഡയഗ്രം കാണിക്കുന്നു: തത്ത, ഒട്ടകപ്പക്ഷി, താറാവ്, പെൻഗ്വിൻ എന്നിവ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പക്ഷികൾ; പറക്കുന്ന ജീവികൾ, തത്ത, താറാവ്, ചിത്രശലഭം, പറക്കുന്ന മത്സ്യം, നീന്തുന്ന ജീവികൾ എന്നിവയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് താറാവ്, പെൻഗ്വിൻ, പറക്കുന്ന മത്സ്യം, തിമിംഗലം എന്നിവയാണ്. മൂന്ന് സെറ്റുകളുടെ കവലയാണ് താറാവ്: പറക്കുന്ന പക്ഷികളുടെയും ജീവജാലങ്ങളുടെയും യൂണിയൻ സെറ്റ് ഒട്ടകപ്പക്ഷി, തത്ത, ചിത്രശലഭം, താറാവ്, പെൻഗ്വിൻ, പറക്കുന്ന മത്സ്യം എന്നിവയാൽ നിർമ്മിതമാണ്. പറക്കുന്ന ജീവജാലങ്ങളുടെയും നീന്തുന്നവയുടെയും പൂരകമാണ് ഒട്ടകപ്പക്ഷി അടങ്ങിയ കൂട്ടം.

മൂന്ന് സെറ്റുകളുടെ വെൻ ഡയഗ്രം. മൂന്ന് സെറ്റുകളുടെ വെൻ ഡയഗ്രം.

ഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങളുടെ പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾ കാണാം. A, B എന്നീ രണ്ട് സെറ്റുകളുടെ സെറ്റ് ഇന്റർസെക്ഷന്റെ പൂരകം A യുടെയും B യുടെ പൂരകത്തിന്റെയും സെറ്റ് യൂണിയന് തുല്യമാണെന്ന് ആദ്യ പോസ്റ്റുലേറ്റ് പറയുന്നു. മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഓപ്പറേറ്റർമാരെ ഉപയോഗിച്ച്, ഡി മോർഗന്റെ ആദ്യ നിയമം എഴുതാം. ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ:

(A∩B) C = A C UB C

ഡി മോർഗന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം, എ, ബി എന്നിവയുടെ യൂണിയൻ സെറ്റിന്റെ പൂരകം, ബിയുടെ പൂരക ഗണവുമായി എയുടെ പൂരക ഗണത്തിന്റെ വിഭജനത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ശ്രദ്ധിക്കപ്പെടുന്നു:

(AUB) C = A C ∩ B C

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. 0 മുതൽ 5 വരെയുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം പരിഗണിക്കുക. ഇത് [0,1,2,3,4,5] ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ പ്രപഞ്ചത്തിൽ നമ്മൾ രണ്ട് ഗണങ്ങളെ നിർവ്വചിക്കുന്നു A, B. A എന്നത് 1, 2, 3 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ്; എ = [1,2,3]. YB എന്നത് 2, 3, 4 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ്; ബി = [2,3,4]. ഡി മോർഗന്റെ ആദ്യ നിയമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ബാധകമാകും.

എ = [1,2,3]; ബി = [2,3,4]

ഡി മോർഗന്റെ ആദ്യ നിയമം: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) സി

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

എ സി യുബി സി

എ സി = [1,2,3] സി = [0,4,5]

ബി സി = [2,3,4] സി = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുമുള്ള ഓപ്പറേറ്റർമാരുടെ പ്രയോഗത്തിന്റെ ഫലം ഡി മോർഗന്റെ ആദ്യ നിയമം പരിശോധിച്ചുറപ്പിച്ചതായി കാണിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ പോസ്റ്റുലേറ്റിലേക്ക് ഉദാഹരണം പ്രയോഗിക്കുന്നത് നോക്കാം.

ഡി മോർഗന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) സി

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

എ സി ∩ ബി സി

എ സി = [1,2,3] സി = [0,4,5]

ബി സി = [2,3,4] സി = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

ആദ്യ പോസ്റ്റുലേറ്റ് പോലെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഡി മോർഗന്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമവും ബാധകമാണ്.

ഉറവിടങ്ങൾ

എജി ഹാമിൽട്ടൺ. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള യുക്തി. എഡിറ്റോറിയൽ Paraninfo, മാഡ്രിഡ്, 1981.

കാർലോസ് ഇവോറ കാസ്റ്റില്ലോ. യുക്തിയും സജ്ജീകരണ സിദ്ധാന്തവും . 2021 നവംബറിലാണ് ആക്സസ് ചെയ്തത്