HomemnДе Морганы хуулиуд юу вэ?

Де Морганы хуулиуд юу вэ?

Логик бол математикийн нэг салбар бөгөөд түүний нэг хэсэг нь олонлогын онол юм. Де Морганы хуулиуд нь олонлог хоорондын харилцан үйлчлэлийн тухай хоёр постулат юм. Эдгээр хуулиудад Окхамын Аристотель, Уильям нарын өмнөх үеийг тэмдэглэсэн байдаг. Август Де Морган 1806-1871 оны хооронд амьдарч байсан бөгөөд математик логикийн албан ёсны бүтцэд өөрийн дэвшүүлсэн хуулиудыг анх оруулсан хүн юм.

Олонлогийн онол дахь операторууд

Де Морганы постулатууд руу шилжихээсээ өмнө олонлогын онолын зарим тодорхойлолтыг авч үзье.

Хэрэв бид А ба В гэж нэрлэх хоёр элемент байгаа бол эдгээр хоёр олонлогийн огтлолцол нь хоёр олонлогт нийтлэг элементүүдийн олонлог юм. Хоёр олонлогийн огтлолцлыг ∩ тэмдгээр тэмдэглэсэн бөгөөд бидний C гэж нэрлэж болох өөр олонлог юм; C = A∩B ба C нь А бүлэг болон В бүлэгт хоёуланд нь харагдах элементүүдийн олонлог юм. Үүний нэгэн адил А ба В хоёр олонлогийн нэгдэл нь А ба В-ийн бүх элементүүдийг агуулсан шинэ олонлог бөгөөд үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв. тэмдэг U. С олонлог буюу А ба В-ийн нэгдэл, С = AUB нь А ба В-ийн бүх элементүүдтэй интегралдсан олонлог юм. Бидний санаж байх ёстой гурав дахь тодорхойлолт бол олонлогийн бүрэн гүйцэд юм. : хэрэв бидэнд элементийн тодорхой орчлон болон энэ орчлонгийн А олонлог байгаа бол А-ийн нөхөх олонлог нь А олонлогт хамаарахгүй тэр ертөнцийн элементүүдийн олонлог юм .

Олонлог хоорондын эдгээр гурван операторыг хэд хэдэн олонлогуудын хоорондох үйлдлийг, өөрөөр хэлбэл хэд хэдэн олонлогийн огтлолцол, нэгдэл, нөхөх үйлдлийг ерөнхийд нь илэрхийлж болно. Энгийн жишээг харцгаая. Дараах зурагт гурван багцын Венн диаграммыг үзүүлэв: тоть, тэмээн хяруул, нугас, оцон шувуугаар дүрслэгдсэн шувууд; тоть, нугас, эрвээхэй, нисдэг загасаар дүрслэгдсэн нисдэг амьтад, нугас, оцон шувуу, нисдэг загас, халимаар төлөөлдөг усанд сэлэгч амьтад. Нугас бол тэмээн хяруул, тоть, эрвээхэй, нугас, оцон шувуу, нисдэг загас зэрэг шувууд ба амьд биетүүдийн нэгдэл гэсэн гурван багцын огтлолцол юм. Нисдэг болон сэлж буй амьтдын нэмэлт нь тэмээн хяруулыг агуулсан багц юм.

Гурван багцын Венн диаграм. Гурван багцын Венн диаграм.

Де Морганы хуулиуд

Одоо бид Де Морганы хуулиудын постулатуудыг харж болно. Эхний постулат нь А ба В хоёр олонлогийн олонлог огтлолцлын бүрэн гүйцэд нь А болон В-ийн нөхөж буй олонлогуудын нэгдэлтэй тэнцүү байна. Өмнөх догол мөрөнд тодорхойлсон операторуудыг ашиглан Де Морганы анхны хуулийг бичиж болно. дараах байдлаар:

(A∩B) C = A C UB C

Де Морганы хоёр дахь хууль нь А ба В нэгдлийн олонлогийн нэмэлт нь А олонлогийн В олонлогтой огтлолцсонтой тэнцүү байх ба үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

(AUB) C = A C ∩ B C

Жишээ харцгаая. 0-ээс 5 хүртэлх бүхэл тоонуудын багцыг авч үзье. Үүнийг [0,1,2,3,4,5] гэж тэмдэглэнэ. Энэ орчлонд бид хоёр А ба В багцыг тодорхойлдог. А нь 1, 2, 3 тоонуудын олонлог юм; A = [1,2,3]. YB нь 2, 3, 4 тоонуудын багц; B = [2,3,4]. Де Морганы анхны хууль дараах байдлаар хэрэгжинэ.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Де Морганы анхны хууль: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Тэгш байдлын хоёр талын операторуудын хэрэглээний үр дүн нь Де Морганы анхны хууль батлагдсан болохыг харуулж байна. Хоёр дахь постулатын жишээг хэрхэн ашиглахыг харцгаая.

Де Морганы хоёр дахь хууль: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Эхний постулатын нэгэн адил өгөгдсөн жишээнд Де Морганы хоёр дахь хууль мөн хамаарна.

Эх сурвалжууд

AG Hamilton. Математикчдад зориулсан логик. Редакцийн Paraninfo, Мадрид, 1981 он.

Карлос Иворра Кастилло. Логик ба олонлогын онол . 2021 оны 11-р сард хандсан