HomemsApakah undang-undang De Morgan?

Apakah undang-undang De Morgan?

Logik adalah cabang matematik, dan sebahagian daripadanya adalah teori set. Hukum De Morgan adalah dua postulat tentang interaksi antara set. Undang-undang ini merekodkan anteseden dalam Aristotle dan William of Ockham. Augustus De Morgan hidup antara 1806 dan 1871 dan merupakan orang pertama yang memasukkan undang-undang yang dia postulatkan dalam struktur formal logik matematik.

Operator dalam teori set

Sebelum beralih kepada postulat De Morgan, mari kita lihat beberapa definisi teori set.

Jika terdapat mana-mana dua set unsur, yang akan kita panggil A dan B, persilangan keduadua set ini ialah set unsur yang sama kepada kedua-dua set. Persilangan dua set dilambangkan dengan simbol ∩, dan merupakan set lain yang boleh kita panggil C; C = A∩B, dan C ialah set unsur yang muncul dalam kedua-dua kumpulan A dan kumpulan B. Begitu juga, gabungan dua set A dan B ialah set baharu yang mengandungi semua unsur A dan B, dan ia dicatatkan dengan simbol U. Set C, gabungan A dan B, C = AUB, ialah set yang disepadukan dengan semua unsur A dan B. Takrifan ketiga yang mesti kita ingat ialah pelengkap bagi set: jika kita mempunyai alam semesta unsur tertentu dan set A alam semesta ini, pelengkap A ialah set unsur alam semesta itu yang bukan milik set A. Set pelengkap A dilambangkan sebagai A C .

Ketiga-tiga operator antara set ini boleh digeneralisasikan kepada operasi antara beberapa set, iaitu, kepada persilangan, kesatuan dan pelengkap beberapa set. Mari kita lihat contoh mudah. Rajah berikut menunjukkan rajah Venn bagi tiga set: burung, diwakili oleh burung nuri, burung unta, itik dan penguin; makhluk hidup yang terbang, diwakili oleh burung kakak tua, itik, rama-rama dan ikan terbang, dan makhluk hidup yang berenang, diwakili oleh itik, penguin, ikan terbang dan ikan paus. Itik ialah set persilangan bagi tiga set: set kesatuan burung dan makhluk hidup yang terbang terdiri daripada burung unta, burung nuri, rama-rama, itik, penguin, dan ikan terbang. Dan pelengkap makhluk hidup yang terbang dan yang berenang ialah himpunan yang mengandungi burung unta.

Gambar rajah Venn bagi tiga set. Gambar rajah Venn bagi tiga set.

Undang-undang De Morgan

Sekarang kita boleh melihat postulat undang-undang De Morgan. Postulat pertama mengatakan bahawa pelengkap set persilangan dua set A dan B adalah sama dengan gabungan set pelengkap A dan pelengkap B. Dengan menggunakan operator yang ditakrifkan dalam perenggan sebelumnya, undang-undang pertama De Morgan boleh ditulis sebagai berikut:

(A∩B) C = A C UB C

Undang-undang kedua De Morgan menyatakan bahawa pelengkap set kesatuan A dan B adalah sama dengan persilangan set pelengkap A dengan set pelengkap B, dan dicatatkan seperti berikut:

(AUB) C = A C ∩ B C

Mari kita lihat contoh. Pertimbangkan set integer dari 0 hingga 5. Ini dilambangkan sebagai [0,1,2,3,4,5]. Dalam alam semesta ini kita mentakrifkan dua set A dan B. A ialah set nombor 1, 2 dan 3; A = [1,2,3]. YB ialah set nombor 2, 3 dan 4; B = [2,3,4]. Undang-undang pertama De Morgan akan digunakan seperti berikut.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Undang-undang pertama De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Keputusan penggunaan pengendali pada kedua-dua belah kesamarataan menunjukkan bahawa undang-undang pertama De Morgan disahkan. Mari kita lihat aplikasi contoh pada postulat kedua.

Undang-undang kedua De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Seperti postulat pertama, dalam contoh yang diberikan undang-undang kedua De Morgan juga terpakai.

Sumber

AG Hamilton. Logik untuk Ahli Matematik. Editorial Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logik dan teori set . Diakses pada November 2021