HomemtX'inhuma l-liġijiet ta' De Morgan?

X’inhuma l-liġijiet ta’ De Morgan?

Il-loġika hija fergħa tal-matematika, u parti minnha hija t-teorija tas-sett. Il-liġijiet ta’ De Morgan huma żewġ postulati dwar l-interazzjoni bejn is-settijiet. Dawn il-liġijiet jirreġistraw anteċedenti f’Aristotle u William of Ockham. Augustus De Morgan għex bejn l-1806 u l-1871 u kien l-ewwel li inkluda l-liġijiet li postula fl-istruttura formali tal-loġika matematika.

Operaturi fit-teorija tas-settijiet

Qabel ma ngħaddu għall-postulati ta’ De Morgan, ejja nħarsu lejn xi definizzjonijiet tat-teorija tas-settijiet.

Jekk hemm xi żewġ settijiet ta ‘elementi, li aħna se nsejħu A u B, l- intersezzjoni ta’ dawn iż- żewġ settijiet hija s-sett ta ‘elementi komuni għaż-żewġ settijiet. L-intersezzjoni ta’ żewġ settijiet hija indikata bis-simbolu ∩, u hija sett ieħor li nistgħu nsejħu C; C = A∩B, u C huwa s-sett ta’ elementi li jidhru kemm fil-grupp A kif ukoll fil-grupp B. Bl-istess mod, l- unjoni ta’ żewġ settijiet A u B hija sett ġdid li fih l-elementi kollha ta’ A u B, u huwa nnutat b’ is-simbolu U. Is-sett C, unjoni ta ‘A u B, C = AUB, huwa sett li huwa integrat ma’ l-elementi kollha ta ‘A u B. It-tielet definizzjoni li rridu niftakru hija l- kompliment ta’ sett: jekk ikollna ċertu univers ta’ elementi u sett A ta’ dan l-univers, il-kompliment ta’ A huwa s-sett ta’ elementi ta’ dak l-univers li ma jappartjenux għas-sett A. Is-sett komplementari ta’ A huwa indikat bħala A C .

Dawn it-tliet operaturi bejn settijiet jistgħu jiġu ġeneralizzati għall-operazzjoni bejn diversi settijiet, jiġifieri, għall-intersezzjoni, unjoni u komplement ta ‘diversi settijiet. Ejja nħarsu lejn eżempju sempliċi. Il-figura li ġejja turi d-dijagramma Venn ta ‘tliet settijiet: l-għasafar, rappreżentati mill-pappagall, l-ngħam, il-papra u l-pingwin; il-ħlejjaq ħajjin li jtiru, rappreżentati mill-pappagall, il-papra, il-farfett u l-ħut li jtir, u l-ħlejjaq ħajjin li jgħumu, rappreżentati mill-pappa, il-pingwin, il-ħuta li jtir u l-balieni. Il-papra hija s-sett ta ‘intersezzjoni tat-tliet settijiet: is-sett tal-unjoni ta’ għasafar u ħlejjaq ħajjin li jtiru huwa magħmul mill-ngħam, il-pappagall, il-farfett, il-papra, il-pingwin u l-ħuta li jtir. U l-kompliment tal-ħlejjaq ħajjin li jtiru u dawk li jgħumu huwa s-sett li fih in-ngħam.

Dijagramma ta' Venn ta' tliet settijiet. Dijagramma ta’ Venn ta’ tliet settijiet.

Il-Liġijiet ta’ De Morgan

Issa nistgħu naraw il-postulati tal-liġijiet ta ‘De Morgan. L-ewwel postulat jgħid li l-komplement tal-intersezzjoni tas-sett ta ‘żewġ settijiet A u B huwa ugwali għall-unjoni tas-sett tal-kompliment ta’ A u l-komplement ta ‘B. Bl-użu tal-operaturi definiti fil-paragrafu preċedenti, l-ewwel liġi ta’ De Morgan tista’ tinkiteb kif ġej:

(A∩B) C = A C UB C

It-tieni liġi ta’ De Morgan tippostula li l-kompliment tas-sett ta’ unjoni ta’ A u B huwa ugwali għall-intersezzjoni tas-sett komplementari ta’ A mas-sett komplementari ta’ B, u huwa nnutat kif ġej:

(AUB) C = A C ∩ B C

Ejja naraw eżempju. Ikkunsidra s-sett ta’ numri interi minn 0 sa 5. Dan huwa indikat bħala [0,1,2,3,4,5]. F’dan l-univers niddefinixxu żewġ settijiet A u B. A huwa s-sett tan-numri 1, 2 u 3; A = [1,2,3]. YB huwa s-sett tan-numri 2, 3 u 4; B = [2,3,4]. L-ewwel liġi ta’ De Morgan tapplika kif ġej.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

L-ewwel liġi ta’ De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Ir-riżultat tal-applikazzjoni tal-operaturi fuq iż-żewġ naħat tal-ugwaljanza juri li l-ewwel liġi ta’ De Morgan hija vverifikata. Ejja naraw l-applikazzjoni tal-eżempju għat-tieni postulat.

It-tieni liġi ta’ De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) Ċ

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Bħal fl-ewwel postulat, fl-eżempju mogħti t-tieni liġi ta’ De Morgan tapplika wkoll.

Sorsi

AG Hamilton. Loġika għall-matematiċi. Editorjal Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Il- loġika u t-teorija tas-sett . Aċċessat f’Novembru 2021