Homeneडी मोर्गनका नियमहरू के हुन्?

डी मोर्गनका नियमहरू के हुन्?

तर्क गणितको एक शाखा हो, र यसको एक भाग सेट सिद्धान्त हो। डे मोर्गनका नियमहरू सेटहरू बीचको अन्तरक्रियाको बारेमा दुई पोष्टुलेटहरू हुन्। यी कानूनहरूले एरिस्टोटल र ओकहमको विलियममा पूर्ववर्तीहरू रेकर्ड गर्दछ। अगस्टस डे मोर्गन 1806 र 1871 को बीचमा बाँचे र गणितीय तर्कको औपचारिक संरचनामा उनले लेखेका कानूनहरू समावेश गर्ने पहिलो व्यक्ति थिए।

सेट सिद्धान्तमा अपरेटरहरू

डी मोर्गनको पोष्टुलेटहरूमा जानु अघि, सेट सिद्धान्तका केही परिभाषाहरू हेरौं।

यदि त्यहाँ तत्वहरूको कुनै दुई सेटहरू छन्, जसलाई हामी A र B भन्नेछौं , यी दुई सेटहरूको प्रतिच्छेदन दुवै सेटहरूमा साझा तत्वहरूको सेट हो। दुई सेटको प्रतिच्छेदन प्रतीक ∩ द्वारा जनाइएको छ, र अर्को सेट हो जसलाई हामी C भन्न सक्छौं; C = A∩B, र C तत्वहरूको सेट हो जुन समूह A र समूह B दुवैमा देखा पर्दछ। त्यसैगरी, दुई सेट A र B को मिलन एउटा नयाँ सेट हो जसमा A र B का सबै तत्वहरू समावेश छन्, र यसलाई नोट गरिएको छ। प्रतीक U. सेट C, A र B को मिलन, C = AUB, A र B को सबै तत्वहरूसँग एकीकृत भएको सेट हो। हामीले सम्झनु पर्ने तेस्रो परिभाषा सेटको पूरक हो। : यदि हामीसँग तत्वहरूको निश्चित ब्रह्माण्ड र यस ब्रह्माण्डको A सेट छ भने, A को पूरक भनेको त्यो ब्रह्माण्डको तत्वहरूको सेट हो जुन A सेटसँग सम्बन्धित छैन। A को पूरक सेटलाई A C भनिन्छ ।

सेटहरू बीचको यी तीन अपरेटरहरू धेरै सेटहरू बीचको सञ्चालनमा सामान्यीकरण गर्न सकिन्छ, अर्थात्, धेरै सेटहरूको प्रतिच्छेदन, संघ र पूरकमा। एउटा साधारण उदाहरण हेरौं। निम्न चित्रले तीन सेटको भेन रेखाचित्र देखाउँछ: चराहरू, सुगा, शुतुरमुर्ग, हाँस र पेंगुइनद्वारा प्रतिनिधित्व गरिएको; उड्ने जीवित प्राणीहरू, सुगा, हाँस, पुतली र उड्ने माछा, र पौडी खेल्ने जीवित प्राणीहरू, हाँस, पेन्गुइन, उड्ने माछा र ह्वेल द्वारा प्रतिनिधित्व। हाँस तीन सेटको मिलन समुह हो: उड्ने चरा र जीवित प्राणीहरूको मिलन शुतुरमुर्ग, सुता, पुतली, हाँस, पेंगुइन र उड्ने माछा मिलेर बनेको हुन्छ। र उड्ने र पौडी खेल्ने जीवित प्राणीहरूको पूरक भनेको शुतुरमुर्ग समावेश भएको सेट हो।

तीन सेटको भेन रेखाचित्र। तीन सेटको भेन रेखाचित्र।

डी मोर्गनको कानून

अब हामी डी मोर्गन को कानून को postulates देख्न सक्छौं। पहिलो पोष्टुलेटले भन्छ कि दुई सेट A र B को सेट प्रतिच्छेदन को पूरक A को पूरक र B को पूरक को सेट मिलन बराबर छ। अघिल्लो अनुच्छेद मा परिभाषित अपरेटरहरु को प्रयोग गरेर, De Morgan को पहिलो कानून लेख्न सकिन्छ। निम्न तरिकाको रूपमा:

(A∩B) C = A C UB C

डे मोर्गनको दोस्रो कानूनले A र B को मिलन सेटको परिपूरक B को पूरक सेटको साथ A को पूरक सेटको प्रतिच्छेदन बराबर हो भनी पोष्ट गर्दछ, र यसलाई निम्नानुसार उल्लेख गरिएको छ:

(AUB) C = A C ∩ B C

एउटा उदाहरण हेरौं। ० देखि ५ सम्मका पूर्णाङ्कहरूको सेटलाई विचार गर्नुहोस्। यसलाई [०,१,२,३,४,५] भनिन्छ। यस ब्रह्माण्डमा हामी दुई सेट A र B परिभाषित गर्छौं। A संख्या 1, 2 र 3 को सेट हो; A = [१,२,३]। YB संख्या 2, 3 र 4 को सेट हो; B = [२,३,४]। डी मोर्गनको पहिलो कानून निम्नानुसार लागू हुनेछ।

A = [१,२,३]; B = [२,३,४]

डी मोर्गनको पहिलो नियम: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩ [2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

समानताको दुवै पक्षमा अपरेटरहरूको आवेदनको परिणामले डे मोर्गनको पहिलो कानून प्रमाणित भएको देखाउँछ। दोस्रो पोष्टुलेटमा उदाहरणको प्रयोग हेरौं।

डी मोर्गनको दोस्रो नियम: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩ [0,1,5] = [0,5]

पहिलो पोष्टुलेटको रूपमा, दिइएको उदाहरणमा डे मोर्गनको दोस्रो कानून पनि लागू हुन्छ।

स्रोतहरू

एजी ह्यामिल्टन। गणितज्ञहरूको लागि तर्क। सम्पादकीय Paraninfo, म्याड्रिड, 1981।

कार्लोस इभोरा कास्टिलो। तर्क र सेट सिद्धान्तनोभेम्बर २०२१ मा पहुँच गरिएको