HomenlWat zijn de wetten van De Morgan?

Wat zijn de wetten van De Morgan?

Logica is een tak van de wiskunde en een deel ervan is de verzamelingenleer. De wetten van De Morgan zijn twee postulaten over de interactie tussen verzamelingen. Deze wetten leggen antecedenten vast bij Aristoteles en Willem van Ockham. Augustus De Morgan leefde tussen 1806 en 1871 en was de eerste die de door hem gepostuleerde wetten opnam in de formele structuur van de wiskundige logica.

Operatoren in de verzamelingenleer

Laten we, voordat we verder gaan met de postulaten van De Morgan, eens kijken naar enkele definities van de verzamelingenleer.

Als er twee verzamelingen elementen zijn, die we A en B zullen noemen, is het snijpunt van deze twee verzamelingen de verzameling elementen die beide verzamelingen gemeen hebben. Het snijpunt van twee verzamelingen wordt aangeduid met het symbool ∩, en is een andere verzameling die we C kunnen noemen; C = A∩B, en C is de verzameling elementen die voorkomen in zowel groep A als groep B. Evenzo is de vereniging van twee verzamelingen A en B een nieuwe verzameling die alle elementen van A en B bevat, en wordt genoteerd met het symbool U. De verzameling C, vereniging van A en B, C = AUB, is een verzameling die is geïntegreerd met alle elementen van A en B. De derde definitie die we moeten onthouden is het complement van een verzameling: als we een bepaald universum van elementen hebben en een verzameling A van dit universum, is het complement van A de verzameling elementen van dat universum die niet tot de verzameling A behoren. De complementaire verzameling van A wordt aangeduid als A C .

Deze drie operatoren tussen verzamelingen kunnen worden gegeneraliseerd naar de werking tussen meerdere verzamelingen, dat wil zeggen tot de intersectie, vereniging en aanvulling van meerdere verzamelingen. Laten we naar een eenvoudig voorbeeld kijken. De volgende afbeelding toont het Venn-diagram van drie sets: de vogels, vertegenwoordigd door de papegaai, de struisvogel, de eend en de pinguïn; de levende wezens die vliegen, vertegenwoordigd door de papegaai, de eend, de vlinder en de vliegende vis, en de levende wezens die zwemmen, vertegenwoordigd door de eend, de pinguïn, de vliegende vis en de walvis. De eend is de intersectie van de drie sets: de eenheidsset van vogels en levende wezens die vliegen bestaat uit de struisvogel, de papegaai, de vlinder, de eend, de pinguïn en de vliegende vis. En de aanvulling van de levende wezens die vliegen en degenen die zwemmen is de set die de struisvogel bevat.

Venndiagram van drie sets. Venndiagram van drie sets.

De Morgans wetten

Nu kunnen we de postulaten van de wetten van De Morgan zien. Het eerste postulaat zegt dat het complement van de verzameling snijpunten van twee verzamelingen A en B gelijk is aan de verzameling vereniging van het complement van A en het complement van B. Met behulp van de operatoren die in de vorige paragraaf zijn gedefinieerd, kan de eerste wet van De Morgan worden geschreven als volgende manier:

(A∩B) C = EEN C UB C

De tweede wet van De Morgan stelt dat het complement van de unieverzameling van A en B gelijk is aan het snijpunt van de complementverzameling van A met de complementverzameling van B, en wordt als volgt genoteerd:

(AUB) C = EEN C ∩ B C

Laten we een voorbeeld bekijken. Beschouw de verzameling gehele getallen van 0 tot 5. Dit wordt aangeduid als [0,1,2,3,4,5]. In dit universum definiëren we twee verzamelingen A en B. A is de verzameling getallen 1, 2 en 3; EEN = [1,2,3]. YB is de reeks nummers 2, 3 en 4; B = [2,3,4]. De eerste wet van De Morgan zou als volgt van toepassing zijn.

EEN = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Eerste wet van De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

EEN C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

EEN C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Het resultaat van de toepassing van de operatoren aan beide zijden van de gelijkheid laat zien dat de eerste wet van De Morgan geverifieerd is. Laten we de toepassing van het voorbeeld op het tweede postulaat bekijken.

Tweede wet van De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

EEN C ∩ B C

EEN C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

EEN C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Net als bij het eerste postulaat is in het gegeven voorbeeld ook de tweede wet van De Morgan van toepassing.

Bronnen

A.G. Hamilton. Logica voor wiskundigen. Redactie Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logica en verzamelingenleer . Betreden november 2021