ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਕੀ ਹਨ?

ਤਰਕ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਹਿੱਸਾ ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਹੈ। ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਸੈੱਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਆਪਸੀ ਤਾਲਮੇਲ ਬਾਰੇ ਦੋ ਅਸੂਲ ਹਨ। ਇਹ ਕਾਨੂੰਨ ਅਰਸਤੂ ਅਤੇ ਓਕਹਮ ਦੇ ਵਿਲੀਅਮ ਵਿੱਚ ਪੂਰਵ-ਅਨੁਮਾਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਜ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਔਗਸਟਸ ਡੀ ਮੋਰਗਨ 1806 ਅਤੇ 1871 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰਹਿੰਦਾ ਸੀ ਅਤੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਤਰਕ ਦੀ ਰਸਮੀ ਬਣਤਰ ਵਿੱਚ ਉਸ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕਾਨੂੰਨਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਪਹਿਲਾ ਵਿਅਕਤੀ ਸੀ।

ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਆਪਰੇਟਰ

ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਅਸੂਲਾਂ ‘ਤੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਆਉ ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਨੂੰ ਵੇਖੀਏ।

ਜੇਕਰ ਐਲੀਮੈਂਟਸ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੈੱਟ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ A ਅਤੇ B ਕਹਾਂਗੇ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੋਵੇਂ ਸੈੱਟਾਂ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ। ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ ∩ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੈੱਟ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ C ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ; C = A∩B , ਅਤੇ C ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ ਜੋ ਗਰੁੱਪ A ਅਤੇ ਗਰੁੱਪ B ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ A ਅਤੇ B ਦਾ ਮਿਲਾਨ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਸੈੱਟ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ A ਅਤੇ B ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪ੍ਰਤੀਕ U. ਸੈੱਟ C, A ਅਤੇ B ਦਾ ਸੰਘ, C = AUB, ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੈ ਜੋ A ਅਤੇ B ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਨਾਲ ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਹੈ। ਤੀਜੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਜੋ ਸਾਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਦਾ ਪੂਰਕ ਹੈ। : ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ A ਹੈ, ਤਾਂ A ਦਾ ਪੂਰਕ ਉਸ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ A ਸੈੱਟ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। A ਦੇ ਪੂਰਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ A C ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ।

ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇਹ ਤਿੰਨ ਓਪਰੇਟਰ ਕਈ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਚਾਲਨ ਲਈ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਕਈ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ, ਯੂਨੀਅਨ ਅਤੇ ਪੂਰਕ ਲਈ। ਆਉ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਉਦਾਹਰਣ ਵੱਲ ਧਿਆਨ ਦੇਈਏ. ਨਿਮਨਲਿਖਤ ਚਿੱਤਰ ਤਿੰਨ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਵੇਨ ਚਿੱਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ: ਪੰਛੀ, ਜੋ ਤੋਤੇ, ਸ਼ੁਤਰਮੁਰਗ, ਬਤਖ ਅਤੇ ਪੈਂਗੁਇਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ; ਜੀਵਤ ਜੀਵ ਜੋ ਉੱਡਦੇ ਹਨ, ਤੋਤੇ, ਬੱਤਖ, ਤਿਤਲੀ ਅਤੇ ਉੱਡਣ ਵਾਲੀਆਂ ਮੱਛੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਜੀਵਤ ਜੀਵ ਜੋ ਤੈਰਦੇ ਹਨ, ਬਤਖ, ਪੈਂਗੁਇਨ, ਉੱਡਣ ਵਾਲੀ ਮੱਛੀ ਅਤੇ ਵ੍ਹੇਲ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਤਖ ਤਿੰਨ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਸੈੱਟ ਹੈ: ਪੰਛੀਆਂ ਅਤੇ ਜੀਵਿਤ ਜੀਵਾਂ ਦਾ ਸੰਘ ਜੋ ਉੱਡਦਾ ਹੈ, ਸ਼ੁਤਰਮੁਰਗ, ਤੋਤਾ, ਤਿਤਲੀ, ਬਤਖ, ਪੈਂਗੁਇਨ ਅਤੇ ਉੱਡਣ ਵਾਲੀ ਮੱਛੀ ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਤੇ ਉੱਡਣ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਤੈਰਨ ਵਾਲੇ ਜੀਵਾਂ ਦਾ ਪੂਰਕ ਉਹ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਤਰਮੁਰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਤਿੰਨ ਸੈੱਟਾਂ ਦਾ ਵੇਨ ਚਿੱਤਰ।

ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਕਾਨੂੰਨ

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪਹਿਲਾ ਅਸੂਲ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਸੈੱਟਾਂ A ਅਤੇ B ਦੇ ਸੈੱਟ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪੂਰਕ A ਦੇ ਪੂਰਕ ਅਤੇ B ਦੇ ਪੂਰਕ ਦੇ ਸੈੱਟ ਯੂਨੀਅਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਪੈਰੇ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਨਿਯਮ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ:

(A∩B) C = A C UB C

ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਕਾਨੂੰਨ ਇਹ ਮੰਨਦਾ ਹੈ ਕਿ A ਅਤੇ B ਦੇ ਸੰਘ ਸਮੂਹ ਦਾ ਪੂਰਕ B ਦੇ ਪੂਰਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਨਾਲ A ਦੇ ਪੂਰਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

(AUB) C = A C ∩ B C

ਆਓ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਵੇਖੀਏ। 0 ਤੋਂ 5 ਤੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ‘ਤੇ ਗੌਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਨੂੰ [0,1,2,3,4,5] ਵਜੋਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸੈੱਟ A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। A ਨੰਬਰ 1, 2 ਅਤੇ 3 ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ; ਅ = [1,2,3]। YB ਨੰਬਰ 2, 3 ਅਤੇ 4 ਦਾ ਸੈੱਟ ਹੈ; ਬੀ = [2,3,4]। ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਾਨੂੰਨ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਲਾਗੂ ਹੋਵੇਗਾ।

ਏ = [1,2,3]; ਬੀ = [2,3,4]

ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਾਨੂੰਨ: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) ਸੀ

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

ਏ ਸੀ ਯੂ ਬੀ ਸੀ

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

ਸਮਾਨਤਾ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਆਪਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਅਰਜ਼ੀ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਨੂੰਨ ਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਆਉ ਅਸੀਂ ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪੋਸਟੂਲੇਟ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਕਾਨੂੰਨ: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) ਸੀ

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਪੋਥੀ ਦੇ ਨਾਲ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਡੀ ਮੋਰਗਨ ਦਾ ਦੂਜਾ ਕਾਨੂੰਨ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਰੋਤ

ਏਜੀ ਹੈਮਿਲਟਨ ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਲਈ ਤਰਕ। ਸੰਪਾਦਕੀ ਪਰਾਨਿਨਫੋ, ਮੈਡ੍ਰਿਡ, 1981।

ਕਾਰਲੋਸ ਇਵੋਰਾ ਕੈਸਟੀਲੋ. ਤਰਕ ਅਤੇ ਸੈੱਟ ਥਿਊਰੀ . ਨਵੰਬਰ 2021 ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਕੀਤੀ ਗਈ