HomeroCare sunt legile lui De Morgan?

Care sunt legile lui De Morgan?

Logica este o ramură a matematicii și o parte din ea este teoria mulțimilor. Legile lui De Morgan sunt două postulate despre interacțiunea dintre mulțimi. Aceste legi înregistrează antecedente în Aristotel și William of Ockham. Augustus De Morgan a trăit între 1806 și 1871 și a fost primul care a inclus legile pe care le-a postulat în structura formală a logicii matematice.

Operatori în teoria mulţimilor

Înainte de a trece la postulatele lui De Morgan, să ne uităm la câteva definiții ale teoriei mulțimilor.

Dacă există două mulțimi de elemente, pe care le vom numi A și B, intersecția acestor două mulțimi este mulțimea de elemente comune ambelor mulțimi. Intersecția a două mulțimi se notează cu simbolul ∩ și este o altă mulțime pe care o putem numi C; C = A∩B, iar C este mulțimea de elemente care apar atât în ​​grupul A cât și în grupul B. În mod similar, unirea a două mulțimi A și B este o mulțime nouă care conține toate elementele lui A și B și se notează cu simbolul U. Mulțimea C, unirea lui A și B, C = AUB, este o mulțime care este integrată cu toate elementele lui A și B. A treia definiție pe care trebuie să o amintim este complementul unei mulțimi: dacă avem un anumit univers de elemente și o mulțime A a acestui univers, complementul lui A este mulțimea elementelor acelui univers care nu aparțin mulțimii A. Mulțimea complement a lui A se notează A C .

Acești trei operatori între mulțimi pot fi generalizați la operația dintre mai multe mulțimi, adică la intersecția, unirea și complementul mai multor mulțimi. Să ne uităm la un exemplu simplu. Figura următoare prezintă diagrama Venn a trei seturi: păsările, reprezentate de papagal, struț, rață și pinguin; ființele vii care zboară, reprezentate de papagal, rață, fluture și peștele zburător, și ființele vii care înoată, reprezentate de rață, pinguin, pește zburător și balenă. Rața este setul de intersecție a celor trei seturi: setul de unire al păsărilor și ființelor vii care zboară este alcătuit din struț, papagal, fluture, rață, pinguin și pește zburător. Iar complementul ființelor vii care zboară și al celor care înoată este setul care conține struțul.

Diagrama Venn a trei seturi. Diagrama Venn a trei seturi.

Legile lui De Morgan

Acum putem vedea postulatele legilor lui De Morgan. Primul postulat spune că complementul intersecției mulțimii a două mulțimi A și B este egală cu uniunea mulțimii complementului lui A și complementului lui B. Folosind operatorii definiți în paragraful anterior, se poate scrie prima lege a lui De Morgan. după cum urmează:

(A∩B) C = A C UB C

A doua lege a lui De Morgan postulează că complementul mulțimii de uniuni ale lui A și B este egal cu intersecția mulțimii complementului lui A cu mulțimea complementului lui B și se notează după cum urmează:

(AUB) C = A C ∩ B C

Să vedem un exemplu. Luați în considerare mulțimea numerelor întregi de la 0 la 5. Aceasta se notează ca [0,1,2,3,4,5]. În acest univers definim două mulțimi A și B. A este mulțimea numerelor 1, 2 și 3; A = [1,2,3]. YB este mulțimea numerelor 2, 3 și 4; B = [2,3,4]. Prima lege a lui De Morgan s-ar aplica după cum urmează.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Prima lege a lui De Morgan: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Rezultatul aplicării operatorilor de ambele părți ale egalității arată că prima lege a lui De Morgan este verificată. Să vedem aplicarea exemplului la al doilea postulat.

A doua lege a lui De Morgan: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Ca și în cazul primului postulat, în exemplul dat se aplică și a doua lege a lui De Morgan.

Surse

AG Hamilton. Logica pentru matematicieni. Editorial Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logica si teoria multimilor . Accesat în noiembrie 2021