Homesiඩි මෝගන්ගේ නීති මොනවාද?

ඩි මෝගන්ගේ නීති මොනවාද?

තර්කය යනු ගණිතයේ ශාඛාවක් වන අතර එහි කොටසක් සකසන ලද න්‍යාය වේ. ඩි මෝගන්ගේ නීති යනු කට්ටල අතර අන්තර්ක්‍රියා පිළිබඳ උපකල්පන දෙකකි. මෙම නීති ඇරිස්ටෝටල් සහ ඔක්හැම්හි විලියම්ගේ පූර්වගාමීන් වාර්තා කරයි. ඔගස්ටස් ඩි මෝගන් 1806 සහ 1871 අතර ජීවත් වූ අතර ගණිතමය තර්කනයේ විධිමත් ව්‍යුහය තුළ ඔහු විසින් ප්‍රකාශ කරන ලද නීති ඇතුළත් කළ පළමු පුද්ගලයා විය.

කුලක න්‍යායේ ක්‍රියාකරුවන්

ඩි මෝර්ගන්ගේ උපකල්පන වෙත යාමට පෙර, කුලක න්‍යායේ සමහර නිර්වචන දෙස බලමු.

අපි A සහ ​​B ලෙස හඳුන්වන මූලද්‍රව්‍ය කට්ටල දෙකක් තිබේ නම්, මෙම කට්ටල දෙකේ ඡේදනය යනු කට්ටල දෙකටම පොදු මූලද්‍රව්‍ය සමූහයයි. කට්ටල දෙකක ඡේදනය සංකේතය ∩ මගින් දක්වනු ලබන අතර, අපට C ලෙස හැඳින්විය හැකි තවත් කට්ටලයකි; C = A∩B , සහ C යනු A කාණ්ඩයේ සහ B කාණ්ඩයේ දිස්වන මූලද්‍රව්‍ය සමූහයයි. ඒ හා සමානව, A සහ ​​B කාණ්ඩයන් දෙකක එකතුවීම A සහ ​​B හි සියලුම අංග අඩංගු නව කට්ටලයක් වන අතර එය සටහන් කර ඇත. සංකේතය U. C කට්ටලය, A සහ ​​B එකමුතුව, C = AUB, A සහ ​​B හි සියලුම අංග සමඟ ඒකාබද්ධ වූ කට්ටලයකි. අප මතක තබා ගත යුතු තුන්වන නිර්වචනය වන්නේ කට්ටලයක අනුපූරකයයි. : අපට කිසියම් මූලද්‍රව්‍ය විශ්වයක් සහ මෙම විශ්වයේ A කට්ටලයක් තිබේ නම්, A හි අනුපූරකය යනු A කාණ්ඩයට අයත් නොවන එම විශ්වයේ මූලද්‍රව්‍ය සමූහයකි. A හි අනුපූරක කට්ටලය A C ලෙස දැක්වේ .

කට්ටල අතර මෙම ක්‍රියාකරුවන් තුන කට්ටල කිහිපයක් අතර ක්‍රියාකාරිත්වයට සාමාන්‍යකරණය කළ හැකිය, එනම් කට්ටල කිහිපයක ඡේදනය, එකමුතුව සහ අනුපූරකය දක්වා. අපි සරල උදාහරණයක් බලමු. පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ කට්ටල තුනක වෙන් රූප සටහනයි: කුරුල්ලන්, ගිරවා, පැස්බරා, තාරා සහ පෙන්ගුයින් විසින් නියෝජනය කරනු ලැබේ; පියාසර කරන ජීවීන්, ගිරවා, තාරා, සමනලයා සහ පියාඹන මාළු වලින් නියෝජනය වන අතර, පිහිනන ජීවීන්, තාරා, පෙන්ගුයින්, පියාඹන මාළු සහ තල්මසාගෙන් නියෝජනය වේ. තාරා යනු කට්ටල තුනේ මංසන්ධි කට්ටලයයි: පියාසර කරන කුරුල්ලන් සහ ජීවීන්ගේ එකමුතු කට්ටලය පැස්බරා, ගිරවා, සමනලයා, තාරාවා, පෙන්ගුයින් සහ පියාඹන මාළු වලින් සමන්විත වේ. තවද පියාසර කරන සහ පිහිනන ජීවීන්ගේ අනුපූරකය වන්නේ පැස්බරා අඩංගු කට්ටලයයි.

කට්ටල තුනක Venn රූප සටහන. කට්ටල තුනක Venn රූප සටහන.

ඩි මෝගන්ගේ නීති

දැන් අපට ඩි මෝර්ගන්ගේ නීතිවල උපකල්පන දැකිය හැකිය. පළමු උපකල්පනය පවසන්නේ A සහ ​​B කුලක දෙකක කුලක ඡේදනයේ අනුපූරකය A සහ ​​B හි අනුපූරකයේ කුලක එකතුවට සමාන වන බවයි. පෙර ඡේදයේ අර්ථ දක්වා ඇති ක්‍රියාකරුවන් භාවිතා කරමින්, De Morgan ගේ පළමු නියමය ලිවිය හැකිය. පහත ආකාරයට:

(A∩B) C = A C UB C

ඩි මෝර්ගන්ගේ දෙවන නියමය මඟින් A සහ ​​B යන සංගම් කට්ටලයේ අනුපූරකය B හි අනුපූරක කට්ටලය සමඟ A හි අනුපූරක කට්ටලයේ ඡේදනයට සමාන වන අතර එය පහත පරිදි සටහන් කර ඇත:

(AUB) C = A C ∩ B C

අපි උදාහරණයක් බලමු. 0 සිට 5 දක්වා පූර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටලය සලකා බලන්න. මෙය [0,1,2,3,4,5] ලෙස දැක්වේ. මෙම විශ්වයේ අපි A සහ ​​B කට්ටල දෙකක් නිර්වචනය කරමු. A යනු අංක 1, 2 සහ 3 කුලකයකි. A = [1,2,3]. YB යනු අංක 2, 3 සහ 4 කුලකයකි. B = [2,3,4]. ඩි මෝර්ගන්ගේ පළමු නීතිය පහත පරිදි අදාළ වේ.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

ඩි මෝගන්ගේ පළමු නියමය: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) සී

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

ඒ සී යූබී සී

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තේම ක්රියාකරුවන්ගේ යෙදුමේ ප්රතිඵලය ඩි මෝර්ගන්ගේ පළමු නියමය තහවුරු කර ඇති බව පෙන්නුම් කරයි. අපි බලමු දෙවන උපසිරැසියට උදාහරණය යෙදීම.

ඩි මෝගන්ගේ දෙවන නියමය: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) සී

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

පළමු උපකල්පනය මෙන්ම, දී ඇති උදාහරණයේ ද මෝගන්ගේ දෙවන නියමය ද අදාළ වේ.

මූලාශ්ර

ඒජී හැමිල්ටන්. ගණිතඥයින් සඳහා තර්කනය. කතුවැකිය Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. තර්කය සහ කුලක න්යාය . ප්‍රවේශය නොවැම්බර් 2021