Logika je odvetvie matematiky a jej súčasťou je teória množín. De Morganove zákony sú dva postuláty o interakcii medzi množinami. Tieto zákony zaznamenávajú predchodcov Aristotela a Williama z Ockhamu. Augustus De Morgan žil medzi rokmi 1806 a 1871 a ako prvý zahrnul zákony, ktoré postuloval, do formálnej štruktúry matematickej logiky.
Operátory v teórii množín
Predtým, ako prejdeme k De Morganovým postulátom, pozrime sa na niektoré definície teórie množín.
Ak existujú dve ľubovoľné množiny prvkov, ktoré budeme nazývať A a B, priesečníkom týchto dvoch množín je množina prvkov spoločných pre obe množiny. Priesečník dvoch množín je označený symbolom ∩ a je ďalšou množinou, ktorú môžeme nazvať C; C = A∩B a C je množina prvkov, ktoré sa vyskytujú v skupine A aj v skupine B. Podobne spojenie dvoch množín A a B je nová množina obsahujúca všetky prvky A a B, pričom symbol U. Množina C, spojenie A a B, C = AUB, je množina, ktorá je integrovaná so všetkými prvkami A a B. Tretia definícia, ktorú si musíme zapamätať, je doplnok množiny: ak máme určitý univerzum prvkov a množinu A tohto univerza, doplnok A je množina prvkov tohto univerza, ktoré nepatria do množiny A. Doplnkovú množinu A označujeme ako A C .
Tieto tri operátory medzi množinami možno zovšeobecniť na operáciu medzi niekoľkými množinami, teda na prienik, spojenie a doplnok niekoľkých množín. Pozrime sa na jednoduchý príklad. Nasledujúci obrázok ukazuje Vennov diagram troch sád: vtáky, reprezentované papagájom, pštrosom, kačicou a tučniakom; živé bytosti, ktoré lietajú, reprezentované papagájom, kačicou, motýľom a lietajúcou rybou, a živé bytosti, ktoré plávajú, reprezentované kačičkou, tučniakom, lietajúcou rybou a veľrybou. Kačica je priesečníkom troch množín: zjednotená množina vtákov a živých bytostí, ktoré lietajú, sa skladá z pštrosa, papagája, motýľa, kačice, tučniaka a lietajúcej ryby. A doplnkom živých bytostí, ktoré lietajú a tých, ktoré plávajú, je súprava, ktorá obsahuje pštrosa.
Vennov diagram troch sád.
De Morganove zákony
Teraz môžeme vidieť postuláty De Morganových zákonov. Prvý postulát hovorí, že doplnok množinového prieniku dvoch množín A a B sa rovná množinovému zjednoteniu doplnku A a doplnku B. Pomocou operátorov definovaných v predchádzajúcom odseku možno napísať prvý De Morganov zákon. nasledovným spôsobom:
(A∩B) C = A C UB C
Druhý De Morganov zákon predpokladá, že doplnok zjednocovacej množiny A a B sa rovná priesečníku množiny doplnkov A s doplnkovou množinou B, a uvádza sa takto:
(AUB) C = A C ∩ B C
Pozrime sa na príklad. Uvažujme množinu celých čísel od 0 do 5. Toto je označené ako [0,1,2,3,4,5]. V tomto vesmíre definujeme dve množiny A a B. A je množina čísel 1, 2 a 3; A = [1,2,3]. YB je množina čísel 2, 3 a 4; B = [2,3,4]. Prvý De Morganov zákon by platil nasledovne.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Prvý De Morganov zákon: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Výsledok aplikácie operátorov na oboch stranách rovnosti ukazuje, že prvý De Morganov zákon je overený. Pozrime sa na aplikáciu príkladu na druhý postulát.
Druhý De Morganov zákon: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
A C ∩ B C
A C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Rovnako ako pri prvom postuláte, aj v uvedenom príklade platí druhý De Morganov zákon.
Zdroje
AG Hamilton. Logika pre matematikov. Úvodník Paraninfo, Madrid, 1981.
Carlos Ivorra Castillo. Logika a teória množín . Sprístupnené v novembri 2021
