HomeskAké sú De Morganove zákony?

Aké sú De Morganove zákony?

Logika je odvetvie matematiky a jej súčasťou je teória množín. De Morganove zákony sú dva postuláty o interakcii medzi množinami. Tieto zákony zaznamenávajú predchodcov Aristotela a Williama z Ockhamu. Augustus De Morgan žil medzi rokmi 1806 a 1871 a ako prvý zahrnul zákony, ktoré postuloval, do formálnej štruktúry matematickej logiky.

Operátory v teórii množín

Predtým, ako prejdeme k De Morganovým postulátom, pozrime sa na niektoré definície teórie množín.

Ak existujú dve ľubovoľné množiny prvkov, ktoré budeme nazývať A a B, priesečníkom týchto dvoch množín je množina prvkov spoločných pre obe množiny. Priesečník dvoch množín je označený symbolom ∩ a je ďalšou množinou, ktorú môžeme nazvať C; C = A∩B a C je množina prvkov, ktoré sa vyskytujú v skupine A aj v skupine B. Podobne spojenie dvoch množín A a B je nová množina obsahujúca všetky prvky A a B, pričom symbol U. Množina C, spojenie A a B, C = AUB, je množina, ktorá je integrovaná so všetkými prvkami A a B. Tretia definícia, ktorú si musíme zapamätať, je doplnok množiny: ak máme určitý univerzum prvkov a množinu A tohto univerza, doplnok A je množina prvkov tohto univerza, ktoré nepatria do množiny A. Doplnkovú množinu A označujeme ako A C .

Tieto tri operátory medzi množinami možno zovšeobecniť na operáciu medzi niekoľkými množinami, teda na prienik, spojenie a doplnok niekoľkých množín. Pozrime sa na jednoduchý príklad. Nasledujúci obrázok ukazuje Vennov diagram troch sád: vtáky, reprezentované papagájom, pštrosom, kačicou a tučniakom; živé bytosti, ktoré lietajú, reprezentované papagájom, kačicou, motýľom a lietajúcou rybou, a živé bytosti, ktoré plávajú, reprezentované kačičkou, tučniakom, lietajúcou rybou a veľrybou. Kačica je priesečníkom troch množín: zjednotená množina vtákov a živých bytostí, ktoré lietajú, sa skladá z pštrosa, papagája, motýľa, kačice, tučniaka a lietajúcej ryby. A doplnkom živých bytostí, ktoré lietajú a tých, ktoré plávajú, je súprava, ktorá obsahuje pštrosa.

Vennov diagram troch sád. Vennov diagram troch sád.

De Morganove zákony

Teraz môžeme vidieť postuláty De Morganových zákonov. Prvý postulát hovorí, že doplnok množinového prieniku dvoch množín A a B sa rovná množinovému zjednoteniu doplnku A a doplnku B. Pomocou operátorov definovaných v predchádzajúcom odseku možno napísať prvý De Morganov zákon. nasledovným spôsobom:

(A∩B) C = A C UB C

Druhý De Morganov zákon predpokladá, že doplnok zjednocovacej množiny A a B sa rovná priesečníku množiny doplnkov A s doplnkovou množinou B, a uvádza sa takto:

(AUB) C = A C ∩ B C

Pozrime sa na príklad. Uvažujme množinu celých čísel od 0 do 5. Toto je označené ako [0,1,2,3,4,5]. V tomto vesmíre definujeme dve množiny A a B. A je množina čísel 1, 2 a 3; A = [1,2,3]. YB je množina čísel 2, 3 a 4; B = [2,3,4]. Prvý De Morganov zákon by platil nasledovne.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

Prvý De Morganov zákon: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Výsledok aplikácie operátorov na oboch stranách rovnosti ukazuje, že prvý De Morganov zákon je overený. Pozrime sa na aplikáciu príkladu na druhý postulát.

Druhý De Morganov zákon: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Rovnako ako pri prvom postuláte, aj v uvedenom príklade platí druhý De Morganov zákon.

Zdroje

AG Hamilton. Logika pre matematikov. Úvodník Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logika a teória množín . Sprístupnené v novembri 2021